光滑流形

08-17

光滑流形

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光滑流形

稱第二可數的Hausdorff空間 $M$ 是n維拓撲流形，若 $forall pin M$ ，存在鄰域 $O(p)subset M$ 和開集 $Vsubset mathbb{R}^n$ 或 $Vsubset mathbb{H}^n=left{ (x^1,cdots,x^n)|x^ngeqslant0 ight}$ 使得 $U$ 與 $V$ 同胚。如果在同胚 $varphi:U o Vsubsetmathbb{H}^n$ 下， $varphi(p)in partialmathbb{H}^n=left{ (x^1,cdots,x^n)|x^n=0 ight}$ 是半空間邊界上的點，則稱 $pin M$ 是流形的邊界點。記流形所有邊界點的集合為 $partial M$ ，有邊界的流形被稱作帶邊流形。

不類似於Banach空間，流形上只有局部的坐標。令 $Usubset M$ 是流形的開子集， $varphi:U o Vsubsetmathbb{R}^n$ 是同胚（暗含 $V$ 是開集），稱兩者的偶 $(U,varphi)$ 是一個坐標卡或者圖，其中 $U$ 是圖的參數域。當然 $varphi$ 可以寫成坐標形式 $varphi(p)=(x^1(p),cdots,x^n(p))$ 。如果一些圖 $(U_alpha,varphi_alpha)$ 的參數域使 $Msubsetigcup_{alpha}U_alpha$ 成立，則稱這些圖是流形的一個圖冊，記作 $A=left{ (U_alpha,varphi_alpha) ight}$ 。

為了引入流形上的光滑結構，需要微分同胚。稱拓撲空間 $X$ 和 $Y$ 的開子集 $Usubset X$ 和 $Vsubset Y$ 是 $C^k$ 類微分同胚的，如果 $U$ 和 $V$ 之間有 $C^k$ 類微分同胚映射 $varphi: U o V$ ，使 $varphi$ 是雙射，並且 $varphiin C^k(U;V)$ 同時 $varphi^{-1}in C^k(V;U)$ 。若說微分同胚時不帶光滑度，則默認是 $C^infty$ 類。

若兩個圖 $(U,varphi)$ 和 $(V,psi)$ 滿足 $Ucap V=emptyset$ ，或者 $psicircvarphi^{-1}$ 是 $C^k$ 類微分同胚，則稱兩個圖是 $C^k$ 類相容的，而稱 $psicircvarphi^{-1}$ 是坐標變換。對於 $C^infty$ 類相容，就簡稱為光滑相容。如果一個圖冊中任意兩個圖都是光滑相容的，就稱圖冊是光滑圖冊。在流形的所有的光滑圖冊中，可以挑選出一個具代表性的圖冊來建立光滑結構。稱流形的一個圖冊 $A$ 是極大光滑圖冊，若 $A$ 已經包含了所有，與 $A$ 中任意的圖 $forall (U,varphi)in A$ 光滑相容的圖。稱流形上的極大光滑圖冊確定了一個光滑結構。若流形 $M$ 上有光滑結構，則稱它是光滑流形。流形上的圖冊一旦給定，就可以把流形上的點用坐標函數表示 $p=(x^1,cdots,x^n)$ 。例如， $mathbb{R}^2$ 的極坐標，圖是 $varphi(x,y)=(rcos heta,rsin heta)$ ，即點的坐標是 $p=(rcos heta,rsin heta)$ 。

對m維流形 $M$ 和n維流形 $N$ 間的映射 $f:M o N$ ，稱 $f$ 是光滑映射，如果 $forall pin M$ ，存在滿足 $pin M$ 的 $M$ 的圖 $(U,varphi)$ 和滿足 $f(p)in V$ 的 $N$ 的圖 $(V,psi)$ 使得 $f(U)subset V$ 並且 $psicirc fcircvarphi^{-1}$ 是光滑映射。由此流形之間可以定義微分同胚。研究局部時還會用到局部微分同胚：若 $forall pin M$ ，存在鄰域 $O(p)subset M$ 使 $f(O(p))subset N$ 是開集同時 $f_{O(p)}:O(p) o f(O(p))$ 是微分同胚。

若光滑流形 $M$ 的圖冊 $A$ 中任意兩個有相交參數域的相容圖 $(U,varphi)$ 和 $(V,psi)$ 的坐標變換 $psicircvarphi^{-1}$ 的Jacobian行列式處處大於0，則稱 $A$ 是可定向圖冊，而 $M$ 是可定向流形。這裡的定向圖冊顯然構成一個等價類。

命題 連通光滑流形僅有兩種定向圖冊的等價類，或者沒有定向圖冊。

若流形上給了定向，即給出了定向圖冊的等價類，則稱流形是定向流形。

命題 定向光滑n維帶邊流形 $M$ 的邊界是n-1維不帶邊定向流形 $partial M$ ，它和 $M$ 有同樣光滑度。

自然這個命題也說明了邊界是零測度集。若圖冊 $left{ (U_alpha,(x^1_alpha,dots,x_alpha^n))|x^n_alphageqslant 0 ight}$ 給出了定向，則稱圖冊 $left{ (U_alphacappartial M ,(x^1_alpha,dots,x_alpha^{n-1})) ight}$ 給出了邊界上的誘導定向。

切空間，餘切空間

引入記號 $mathbb{R}^n_a=left{ a ight} imesmathbb{R}^n$ ，表示所有起點是 $ainmathbb{R}^n$ 的所有向量，其中元素記作 $v_a=sum_{i=1}^{n}{v_ie^i|_a}$ ， $e^i|_a$ 是起點為 $a$ 的基。顯然 $mathbb{R}^n_a$ 和 $mathbb{R}^n$ 同構。我們知道，微分是線性映射，並且對實函數 $mathbb{R}^nsupset U omathbb{R}$ 滿足Leibniz律： $(fg)=fg+fg$ 。對光滑函數 $f:mathbb{R}^n omathbb{R}$ ，定義運算元 $D_v|_a :C^infty(mathbb{R}^n;mathbb{R}) omathbb{R}$ 是 $f$ 在點 $ainmathbb{R}^n$ 沿 $v$ 的弱微分，即 $D_v|_af=frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t}f(a+tv)$ ，易驗證其滿足Leibniz律。若 $v_a=sum_{i=1}^{n}{v_ie^i|_a}$ ，則運算元有顯式 $D_v|_af=sum _{i=1}^{n}v_ifrac{partial f}{partial x^i}(a)$ 。由此，稱線性映射 $D:C^infty(mathbb{R}^n;mathbb{R}) omathbb{R}$ 是點 $ainmathbb{R}^n$ 處的微分法，若它滿足Leibniz律 $D(fg)=f(a)D(g)+D(f)g(a)$ 。記點 $a$ 處的所有微分法的集合為 $T_a(mathbb{R}^n)$ ，稱其為點 $a$ 處的切空間。易驗證切空間是線性空間，並稱切空間的元素為切向量。

命題 $forall ainmathbb{R}^n$ ， $v_amapsto D_v|_a$ 是 $mathbb{R}^n_a$ 到 $T_a(mathbb{R}^n)$ 的同構。

命題 n個切向量 $frac{partial }{partial x^1}|_a,dots,frac{partial }{partial x^n}|_a$ 是切空間 $T_a(mathbb{R}^n)$ 的一組基，其中 $frac{partial }{partial x^i}|_aspace f=frac{partial f}{partial x^i}(a)$ 。

要把切空間的定義轉移到流形上，只需修改微分法的定義 $D :C^infty(M;mathbb{R}) omathbb{R}$ ，前面的結論都照搬。現在記定義在 $p$ 的切向量 $D_p=D_v|_p$ 。若給定了圖 $(U,(x^i))$ ，那麼 $frac{partial }{partial x^i}|_p$ 是切空間的基，從而 $forall D_pin T_pM$ ， $D_p=sum_{i=1}^{n}D_ifrac{partial }{partial x^i}|_p$ 其中係數 $D_iinmathbb{R}$ 由 $D( x^j)=$ $sum_{i=1}^{n}(D_ifrac{partial }{partial x^i}|_p)(x^j)$ $=sum_{i=1}^{n}D_ifrac{partial x^j}{partial x^i}|_p$ $=D_j$ 給出。

命題在流形的兩個圖 $(U,(x^i))$ 和 $(U,( ilde{x}^i))$ 下，同一個切向量 $D_p=sum_{i=1}^n D_ifrac{partial }{partial x^i}|_p$ $=sum_{i=1}^n ilde{D}_ifrac{partial }{partial ilde{x}^i}|_p$ 有坐標轉換公式 $ilde{D}_j=sum_{i=1}^nfrac{partial ilde{x}^j}{partial x^i}D_i$ 。

這說明切向量是獨立於坐標的取法的量。

流形 $M$ 上所有切空間的並 $cup T_pM$ ，記作 $TM$ ，稱其為流形的切叢。

命題 n維光滑流形 $M$ 的切叢 $TM$ 是2n維光滑流形，且 $forall D_v|_pin TM$ ， $D_v|_p=sum_{i=1}^{n}v_ifrac{partial }{partial x^i}|_p=(x^1(p),cdots,x^n(p),v_1,cdots,v_n)$ 是切叢上的切向量的坐標形式，若流形上給定了圖 $(U,(x^i))$ 。

這裡理應特彆強調是「切叢上的切向量」，因為說「切空間上的切向量」就相當於給定了 $varphi(p)=(x^1(p),dots,x^n(p))$ 。

稱連續映射 $F:M o TM$ 是光滑流形 $M$ 上的向量場，若 $picirc F=mathrm{Id}_M:M o M$ 是恆等映射，其中 $pi:TM o M$ 滿足 $forall D_pin TM$ ， $pi(D_p)=p$ 。很明顯 $frac{partial }{partial x^1},dots,frac{partial }{partial x^n}$ 都是向量場，其中 $(frac{partial }{partial x^i}(p))(f)=frac{partial f}{partial x^i}|_p$ ，從而向量場都是 $F=sum_{i=1}^nF_ifrac{partial }{partial x^i}$ 的形式。記所有光滑向量場的集合為 $mathcal{T}(M)$ ，它是 $mathbb{R}$ 上的線性空間。

命題 向量場 $F=sum_{i=1}^nF_ifrac{partial }{partial x^i}$ 是光滑的，當且僅當 $F_i:U omathbb{R}$ 是光滑的。

切空間的對偶空間 $(T_pM)^*=T_p^*M$ 被稱作餘切空間，而所有餘切空間的並 $cup T^*_pM$ 被稱作餘切叢，記作 $T^*M$ 。線性空間上的線性形式，現在被稱作余向量，而切空間上的線性形式就被稱作餘切向量。如同 $frac{partial }{partial x^1}|_p,dots,frac{partial }{partial x^n}|_p$ 一樣，餘切空間 $T_p^*M$ 也有一組基，我們暫時記作 $lambda^i|p$ ，從而 $forall omegain T_p^*M$ ， $omega=sum_{i=1}^{n}omega_ilambda^i|_p$ 其中 $omega_i=omega(frac{partial }{partial x^i}|_p)$ 。這樣餘切叢上的餘切向量就可以寫成坐標形式 $omega=(x^1(p),dots,x^n(p),omega_1,dots,omega_n)$ 。簡單計算就可得到餘切向量在不同圖下的坐標變換 $omega_i=sum_{j=1}^nfrac{partial ilde{x}^j}{partial x^i}(p) ilde{omega}_j$ ，不過這式子和切向量的有略微出入。

稱 $omega:TM o mathbb{R}$ 是一個余向量場，若 $omega$ 在切空間上的限制 $omega_{T_pM}:T_pM omathbb{R}$ 是線性形式。現在對光滑實函數 $f:M omathbb{R}$ 定義一個余向量場 $df:TM o mathbb{R}$ ，其中 $forall D_pin T_pM$ 滿足 $df_p(D_p)=D_p(f)$ 。我們來看 $df_p=sum_{i=1}^{n}xi_i(p)lambda^i|_p$ 在圖 $(U,(x^i))$ 下有怎樣的形式。由 $xi_i:U o mathbb{R}$ 的定義可得 $xi_i(p)=df_p(frac{partial }{partial x^i}|_p)=frac{partial }{partial x^i}|_pf=frac{partial f}{partial x^i}(p)$ ，即 $df_p=sum_{i=1}^{n}frac{partial f}{partial x^i}(p)lambda^i|_p$ ，再令 $f=x^j$ 則得 $dx^j|_p=sum_{i=1}^{n}frac{partial x^j}{partial x^i}(p)lambda^i|_p=lambda^j|_p$ ，這即是說，餘切空間的一組基是 $dx^i|_p$ 。當 $df$ 僅是餘切向量時有 $df=sum_{i=1}^nfrac{partial f}{partial x^i}dx^i$ 。而且此處 $(dx^icircfrac{partial }{partial x^j})(p)=delta_{ij}$ ，即 $dx^i$ 和 $frac{partial }{partial x^i}$ 互為對偶基。

命題 光滑余向量場 $omega=sum_{i=1}^nomega_idx^i$ 是光滑的，當且僅當 $omega_i:U o mathbb{R}$ 都是光滑的。

推前映射，拉回映射

對流形間的光滑映射 $F:M o N$ ，稱按 $(F_*(D_p))(f)=D_p(fcirc F)$ 定義的 $F_*:T_pM o T_{F(p)}N$ 是 $F$ 在 $pin M$ 的推前映射，其中 $fin C^infty(N;mathbb{R})$ ， $D_pin T_pM$ 。若取這裡的 $f$ 是恆等映射就能看出餘切向量 $dF_p$ 是推前映射。

命題 $F:M omathbb{R}^m$ 是n維光滑流形上的(至少 $C^1$ 類)光滑函數，則 $F_*=left( egin{matrix} frac{partial F^1}{partial x^1}(p) & cdots & frac{partial F^1}{partial x^n}(p) \ cdots & cdots & cdots \ frac{partial F^m}{partial x^1}(p) & cdots &frac{partial F^m}{partial x^n}(p) end{matrix} ight)=(partial_nF^m)$ 是Jacobian，若給了圖 $(U,(x^i))$ 。

這命題說明推前映射是函數的微分。又 $dF|_p$ 也是推前映射，所以運算元 $d$ 就是函數的微分。但在此處需要解決一個矛盾，那就是圖的參數域並未覆蓋流形，但函數的定義域是在整個流形上。我們有下述命題：

命題 $Vsubset M$ 是光滑流形 $M$ 的開子流形，那麼 $forall pin V$ ， $T_pV$ 和 $T_pM$ 同構。

從而可以把圖的切空間和整個流形的切空間等同起來。這裡提及了子流形，n維流形 $M$ 的k維子流形 $V$ 指的是 $Vsubset M$ ，並且 $forall pin V$ ，存在圖 $(U,varphi)$ 使 $pin U$ 且 $(Scap U)subsetleft{ varphi^{-1}(t^1,dots,t^k,0,dots,0)|(t^1,dots,t^n)in mathbb{R}^n ight}$ 。

對於推前映射的自變數是向量場的情況，必須要求 $F$ 是微分同胚，即：

命題 $F:M o N$ 是微分同胚，則 $forall Din mathcal{T}(M)$ ，那麼存在唯一的向量場 $D:N o TN$ 使 $forall pin M$ ， $F_*(D_p)=D_{F(p)}$ 。

稱按 $(F^*(omega))(D_p)=omega(F_*(D_p))$ 定義的是 $F:M o N$ 的拉回映射 $F^*:T^*_{F(p)}N o T^*_pM$ ，其中 $omegain T^*_{F(p)}$ ， $D_pin T_pM$ 。然而，拉回映射的自變數不論是餘切向量還是余向量場，都是良定義的。

若同時給定 $F:M o N$ 和 $omegain T^*_{F(p)}$ ，則能定義滿足 $(F^*omega)_p=F^*(omega_{F(p)})$ 的 $F^*omega:TM o mathbb{R}$ ，可看出 $F^*omega$ 是余向量場。

命題 若 $F:M o N$ 是m維流形 $M$ 到n維流形 $N$ 的光滑映射，則 $F^*omega=sum_{i=1}^{n}(omega_icirc F)dF_i$ ，其中 $F(x^1,dots,x^m)=(F_1,dots,F_n)$ 。

若取 $varphi:mathbb{R}supset[c,d] omathbb{R}$ ， $omega=f(t)dt$ 其中 $f:mathbb{R}supset[a,b] omathbb{R}$ ，就能發現 $varphi^*omega=f(varphi(t))varphi(t)dt$ $=(S)spacespace f(varphi)dvarphi$ 是被積分項的換元法。因此我們就來定義余向量場 $omega=f(t)dt$ 的積分。稱 $omega$ 在 $[a,b]$ 上的積分是 $int_{[a,b]}omega=(L)int_a^bf(t)dt$ 。乍一看這只不過是使了一個記號上的小花招。然而我們已經知道 $varphi^*omega$ 是換元法：

命題 若 $varphi:[c,d] o[a,b]$ 同時是微分同胚和增函數，那麼 $int_{[a,b]}omega=int_{[c,d]}varphi^*omega$ 。

如同複平面上的曲線一樣，稱連續映射 $gamma:[0,1] o M$ 是光滑流形 $M$ 上的一條曲線。當然在定義積分的時候還是使用道路。若 $gamma$ 是 $M$ 上的道路，則稱 $int_gammaomega=$ $sum_{i=1}^kint_{[a_{i-1},a_i]}gamma^*omega$ 是 $omega$ 在 $gamma$ 上的積分，其中 $gamma$ 在每一段 $[a_{i-1},a_i]$ 上是光滑的。積分都有的那些性質，即線性、可加性等依然成立，還保有換元法： $int_gamma omega=int_0^1omega_{gamma(t)}gamma(t)dt$ ，而且道路的參數依然是無關緊要的量：

命題 $ildegamma:[a,b] o M$ 滿足 $ildegamma=gammacircvarphi$ ，其中 $varphi:[a,b] o[0,1]$ 是微分同胚。若 $varphi$ 是增函數，那麼 $int_{ ildegamma}omega=int_{gamma}omega$ ；若 $varphi$ 是減函數，則 $int_{ ildegamma}omega=-int_{gamma}omega$ 。

這個命題順便還揭示了曲線作為子流形的定向，只不過影響一個負號而已。

定理(Newton-Leibniz) $f:M omathbb{R}$ ，則 $int_{gamma}df=f(gamma(1))-f(gamma(0))$ 。

這是N-L公式的更一般的形式。

稱一個光滑余向量場 $omega$ 是恰當的，若 $exists fin C^infty(M;mathbb{R})$ 使 $omega=df$ 。稱一個光滑余向量場是保守場，若它在閉合道路上的積分為0。

定理(Poincaré) 曲線上的光滑余向量場是保守場當且僅當它是恰當的。

上面這些關於積分的內容，在引入微分形式後都將被推廣到更一般的情況。

在最後補充一個定義。設 $F:M o N$ 是局部微分同胚，這樣它至少在局部有非退化的Jacobian。稱 $F$ 是保定向的(orientation-preserving)，若 $forall pin M$ ， $F$ 的Jacobian行列式大於0，即 $mathrm{det}F_*>0$ ；若 $mathrm{det}F_*<0$ 則稱它是逆定向的(orientation-reversing)。