群的線性表示和例子

來自專欄關於群和群表示的筆記

我們設 是域 上的線性空間， 上所有可逆線性變換組成的乘法群記作 。

定義1. 設 是一個群， 是域 上的一個線性空間. 到 的一個群同態 稱為域 上的一個線性表示（簡稱為 表示）. 稱為表示空間.若 有限維，則 的維數稱為表示的次數（或維數），記作 ；若 是無限維的，則稱 是 的無限維表示.

由上述定義，群 的一個線性表示是由表示空間 和群同態 組成的二元組 ,我們利用適當多的線性表示可以獲取群 的結構的信息以及解決與群相關的問題.群 在線性表示下的像是 的子群，它比較容易研究。

若表示 的核 （即表示是單射），則稱該表示是忠實的.

若 ，則稱該表示是平凡的.

群 的一次平凡表示一般稱為 的主表示或者單位表示，記作 或者 .

注意到 ，故一個群的有限維表示也可以看成是一個群到一個一般線性群的群同態。一般稱為 次矩陣表示，記為 。

當然我們還需要討論兩個表示等價的問題，如同兩個群是同構的問題一樣。

定義2.群 在域 上的兩個線性表示 和 是等價的，指的是若存在線性空間的一個同構 ，使得對於 ,有 ,此時記作 .

相應的矩陣表示的等價就是指存在一個域 上的可逆矩陣，使得

即對任意 , 和 都相似。

可以很容易證明對於一個群的兩個有限維線性表示等價當且僅當它們提供的矩陣表示等價.

以下是一些例子和習題。

例1.求實數域的加法群 的1次實表示

解 該實表示 是 到乘法群 的一個映射，且滿足

顯然指數函數滿足這樣的性質，故對於任意給定的 ，令

則 是 到 的一個群同態，因此 是 的一個一次實表示，由此得到了

的無窮多個1次實表示（對每個實數 ).特別的， 時是 主表示.

進一步要問還有哪些函數是 的1次實表示？

未完待續。