理解對偶空間的方式

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看到問題怎麼形象地理解對偶空間（Dual Vector Space）？

現將答案遷移到專欄之中。

寫個簡明扼要的分析吧。

在定義來看對偶空間只是線性泛函的全體，這是個十分抽象且不好操作的對象。所以需要一種辦法讓大家形象的理解對偶空間。那就是找同構，用同構的空間去表示對偶空間。

令 與 是一組空間與其上的對偶空間，顯然維數均為 。後令 為 上的一組基， 因為有限維線性空間可以被基唯一確定，且確定線性空間的基彼此同構，故可以把空間的變化問題轉化為基變化的問題，可見這樣更好操作。

1，找 上的基,

令對 的作用為提前元素關於基的第 個坐標，易知 為 上的一組基。且 ,因為基底關於自身的坐標為1，關於其他的為0,。

2，研究 對 的作用

,令 ，故 ,可見作用 是well-defined，即

故 ，

很好的結果，但這還不夠。

3，研究 上的性質

令 , ，令 ,

此時有 。

可見 對 的作用線性泛函與給定的 相同。

4，水到渠成

做一個簡單的同構映射，雙射的性質可以在前面看出，

故在同構意義下 。

對偶空間也叫做共軛空間，像這種二次共軛等於自身的空間，數學上稱作 自反空間 。

既然看到標籤里有泛函分析，那再從泛函分析的角度說一下對偶空間，像我們熟知的例子 ,其中 或 ，思路與之前一樣，還是找到同構的空間，這樣就把抽象的對象便具體了，下附的證明，從中可以看出證明裡在做的就是構造同構映射去表示對偶空間：

同時因為 ,所以它不是自反空間。

btw，至於reisz表示定理為什麼要叫表示定理就很顯然吧。