多元變數微積分-第七講-極大值、極小值

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上一講講解了偏導數，這一解講偏導數的應用，利用偏導數求極值。

1.用偏導數求優化問題

一元函數求極值點，利用導數，多元函數求極值點，利用偏導數。

1.1極值必要條件：（這裡用二元函數，很容易推廣到多元函數）

這裡強調是必要條件，因為兩個偏導數存在且均為0，和一元函數一致，稱為駐點。駐點並不肯定是極值點，比如下圖中鞍面：

可以看到，駐點包含三種情況：極大值點、極小值點、鞍點

舉例：

1.2極值的充分條件：

先直接給出結論，然後再看如何得到的。

推導：

先看一個特例：

我們用Hessian矩陣表示為，

這個特例看出討論情況和前面給出的充分條件是符合的。

如何通過特例得到充分條件？

利用泰勒公式，函數可以展開成多項式的形式。

當然Hession矩陣行列式為0，也就是不定的時候，對應著退化的情況。要求掌握極大極小值的充分條件。

其實多元函數求極值與一元函數完全一致，不要被矩陣嚇到，這完全是變數變多後自然而然的推廣。

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