線性代數線性相關無關的吃貨表示

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所以我就順著這個腦洞往下發揮了一下，幫助大家理解線性代數中相關無關的概念

首先，我們看下什麼是向量組：

翻譯一下這句話：

每個人都有相同的技能點，但是技能強度不一樣。比方說這些人都能吃蘋果，披薩，棒棒糖……

然後是向量組線性相關和無關的概念

線性組合：給定向量組α1，α2……αm，對於任意一組實數k1，k2……km，向量k1α1+k2α2+……kmαm稱為向量組的一個線性組合

k1α1+k2α2+……kmαm=0

如果k1，k2……km不全為0，則稱向量組α1，α2……αm是線性相關的

如果k1，k2……km全為0，則稱向量組α1，α2……αm是線性無關的

翻譯一下：

現在一些人要被派去吃東西，需要吃蘋果、披薩和棒棒糖，然後我們觀察到，哎，α2相同時間裡面吃的東西剛好是α1的兩倍，那我幹嘛還要這個α1啊，useless的傢伙，於是我們可以稱α1和α2是線性相關的，他們是可以相互替代的

α2把α1排擠走之後，看到了α3，這個α3雖然吃的披薩和棒棒糖跟那個α1小瘦子一樣，但是他吃的蘋果竟然有3個，這就是α3的強項，α2在這個方面自愧不如，所以不敢去取代α3，所以α2和α3線性無關

如果這夥人裡面有像α1和α2這樣的人存在，那麼有些人就是可以被替代的，就稱這個組合是線性相關的；否則，如果這夥人裡面沒有意義個人可以被替代，那麼這個組合就很妙，就稱他們是線性無關的

然後看一些常用的定理和推論

定理1：向量組α1，α2……αm是線性相關的充要條件是至少有一個αj可以由余下的m-1個向量表示

有個αj，他可以被所有其他人以某種方式組合起來替代，那麼他也是可以被替代的，就像鹿晗雖然會唱歌會演戲，但是在一個小組裡面還有雖然不會演戲但是會唱歌的林俊傑，以及雖然不會唱歌但是會演戲的陳道明，那麼鹿晗就被排擠了

定理2：n+1個n維向量一定是線性相關的

就像有四個人被派去吃三樣東西，蘋果、披薩和棒棒糖，誰都不想被替代，第一個人說自己特長是吃蘋果，第二個人來面試看到第一個人說自己是吃蘋果的了，他說自己的特長是吃披薩，那麼第三個人要想留下來就說自己特長是吃棒棒糖，最後輪到第四個人的時候，發現自己說什麼都不行了……只能被刷下來

推論1：s<m

任何部分組α1，α2……αs相關，則整體組α1，α2……αm相關

任何整體組α1，α2……αm無關，則部分組α1，α2……αs無關

本來這個項目組就有多餘的可以被替代的人，老闆竟然還想招人，所以整個公司來看，還是有人可以踢出去，還是線性相關的

公司人員分配特別好，每一個人都各司其職，各有特長，那麼分各個部門來看，依舊是每個人都是不可替代的

本來公司發展良好，人員各司其職，公司就只吃蘋果、披薩和棒棒糖，線性無關。現在公司要發展新的業務了，大家不能僅僅吃原來的東西了，還要開始吃甜甜圈，那麼這些人每一個都還是無可替代的，因為老業務還是要做的啊，老業務缺一都不可，新業務+老業務的模式下，自然缺一不可

好了，這就是線性相關和無關的一些比較形象的腦洞，大家隨意看看幫助理解就可以了，但其實很多地方並不嚴謹

最後祝大家都發展好自己的技能樹，成為團隊裡面不可替代的人！