高等代數筆記整理（八）

09-04

高等代數筆記整理（八）

來自專欄我的數學臆想4 人贊了文章

大家好！

終於放假了！！

暑假跟同學來杭州了，今天逛了逛西湖（相當於繞一圈了……背著二十多斤的包）

明天準備去浙大轉轉，好吃的還沒吃到，只是買了點當地的桂花糕吃，emmmm畢竟真不知道有啥好吃的。

高代筆記卡了好久了吧？

剛剛打開發現草稿還是六月份寫下的，有點慚愧。

好了，不多廢話，我們這就開始今天的內容。

線性變換下的矩陣及其性質
一些映射的基本概念
可對角化的概念引入
可對角化的預備一：矩陣的行列式

線性變換下的矩陣

我們在上一篇的結尾留下了兩個問題，即

1.同一線性映射在不同基下的矩陣有什麼關係？

2.這種「等價性」（指線性映射與和其對應斷矩陣）的本質是什麼？

本篇筆記我們將著重來看第一個問題。

研究一個複雜的問題我們往往從一個相對簡單的特殊情況入手，線性映射下的矩陣基本上都是由兩個基來決定（定義域與值域各一個），那麼有沒有僅需一個基就可以的呢？

大家想一想，為什麼我們必須要選取兩個基才能寫出其對應的矩陣啊？

因為（定義域和陪域）線性空間不同啊！

如果定義域和陪域相同，那麼就可以只選一個基（也就是定義域和陪域選擇同一個基），這樣也就大大簡化了問題。

我們把這一類特殊的線性映射稱為線性變換(linear transformation)。

Def：線性變換是線性空間 $V$ 到其自身的線性映射（即 $extbf A : V ightarrow V$ ）。

【注】為了方便起見，以後不加特別說明的話，線性變換的定義域和陪域都默認為維數是n的線性空間 $V$ 。

仿照上一篇中的方法，我們可以得到，選定一組線性空間V（假設為n維）的基 $alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n$ （定義域和陪域均選這個基），我們有

$egin{align} extbf A(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)&=( extbf Aalpha_1, extbf Aalpha_2,cdots, extbf Aalpha_n) \ &=(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n) egin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &cdots &a_{1n} \ a_{21} &a_{22} &cdots &a_{2n} \ vdots &vdots & &vdots \ a_{n1} &a_{n2} &cdots &a_{nn} end{pmatrix} \ &=(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)A end{align}$

其中， $A$ 是 $n imes n$ 型矩陣，且

$extbf Aalpha_1=a_{11}alpha_1+a_{21}alpha_2+cdots+a_{n1}alpha_n \ extbf Aalpha_2=a_{12}alpha_1+a_{22}alpha_2+cdots+a_{n2}alpha_n \ vdots qquad qquad vdots qquad qquad vdots qquad qquad vdots \ extbf Aalpha_n=a_{1n}alpha_1+a_{2n}alpha_2+cdots+a_{nn}alpha_n$

也就是說，對於一個n維線性變換來說，（選定了一個基的情況下）它的矩陣是一個n級方陣。

上一節留下的問題之一就是找到同一線性映射在不同基下矩陣的關係，為了講清楚我們先來給出過渡矩陣的概念。

任取線性空間V兩個不同的基 $alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n$ 與 $eta_1,eta_2,cdots,eta_n$ ，我們有

$eta_1=s_{11}alpha_1+s_{21}alpha_2+cdots+s_{n1}alpha_n \ eta_2=s_{12}alpha_1+s_{22}alpha_2+cdots+s_{n2}alpha_n \ vdots qquad qquad vdots qquad qquad vdots qquad qquad vdots \ eta_n=s_{1n}alpha_1+s_{2n}alpha_2+cdots+s_{nn}alpha_n$

即

$egin{align} (eta_1,eta_2,cdots,eta_n)&= (alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n) egin{pmatrix} s_{11} &s_{12} &cdots &s_{1n} \ s_{21} &s_{22} &cdots &s_{2n} \ vdots &vdots & &vdots \ s_{n1} &s_{n2} &cdots &s_{nn} end{pmatrix} \ &=(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)S end{align}$

此時我們稱S為基 $alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n$ 到基 $eta_1,eta_2,cdots,eta_n$ 的過渡矩陣。

Theorem 1：線性變換在任意兩個基下的過渡矩陣可逆。

proof：因為需要一些預備知識，我們姑且把這個定理放到後面來證。

下面我們來看同一線性映射在不同基下矩陣的關係。

取線性空間V兩個不同的基 $alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n$ 與 $eta_1,eta_2,cdots,eta_n$ ，它們對應的矩陣分別是A和B，且S為過渡矩陣，即

$egin{align} extbf A(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)&=(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)A \ extbf A(eta_1,eta_2,cdots,eta_n)&=(eta_1,eta_2,cdots,eta_n)B \ (eta_1,eta_2,cdots,eta_n)&=(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)S end{align}$

由S可逆，我們得到 $(eta_1,eta_2,cdots,eta_n)S^{-1}=(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)$

這裡我們不加證明的給出如下結論：

Lemma 1： $extbf A[(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)S]=[ extbf A(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)]S$

proof：證明留給大家。

由Lemma 1

$egin{align} &quad extbf A(eta_1,eta_2,cdots,eta_n) \ &= extbf A[(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)S] \ &=[ extbf A(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)]S \ &=[(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)A]S \ &=(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)[AS] \ &=[(eta_1,eta_2,cdots,eta_n)S^{-1}]AS \ &=(eta_1,eta_2,cdots,eta_n)S^{-1}AS end{align}$

【注】這裡第二個等號的證明有點難，可以先嘗試一下，本篇後一點的內容（即下面Prop 3第六個等號的補充證明）有它的詳細證明。

又 $extbf A(eta_1,eta_2,cdots,eta_n)=(eta_1,eta_2,cdots,eta_n)B$ ，因為矩陣在特定基下的矩陣唯一（你可以想一下是為什麼），所以 $B=S^{-1}AS$ 。

我們將這種特殊的關係稱為相似。

Def：如果存在一個可逆矩陣 $P$ ，使得 $B=P^{-1}AP$ ，那麼我們就稱矩陣 $A,B$ 相似。

也就是說，同一線性變換在不同基下的矩陣是相似的。

Theorem 2：同一線性變換對應不同基下的矩陣相似。

注意，這個關係相當重要，我們將在以後多次用到它，在高代的外篇中我也將給出有關矩陣相似的一些性質。

為了方便起見，下面簡單介紹幾個有關線性映射概念作為預備知識。

一些映射的基本概念

映射的核：對於映射 $f:A ightarrow B$ ， $Kerf riangleqleft{ ain A|f(a)=0 ight}$ 稱為映射 $f$ 的核（Kernel）

映射的像：對於映射 $f:A ightarrow B$ ， $Imf riangleqleft{ f(a)|ain A ight}$ 稱為映射 $f$ 的像（Image）

單射：對於映射 $f:A ightarrow B$ ，若 $forall bin B$ ,在定義域 $A$ 中有且只有一個元素 $a$ 使得它的像 $f(a)=b$ ，那麼就稱映射 $f$ 是一個單射（Injection）。

滿射：對於映射 $f:A ightarrow B$ ，若 $Imf=B$ ，那麼就稱映射 $f$ 是一個滿射（Surjection）。

雙射：如果一個映射 $f$ 既是單射又是滿射，那麼就稱映射 $f$ 是一個雙射（Bijection）。

恆等映射：對於映射 $f:A ightarrow B$ ，若 $forall ain A,f(a)=a$ ，那麼就稱映射 $f$ 是一個恆等映射。（顯然，恆等映射的陪域包含定義域）

零映射：對於映射 $f:A ightarrow B$ ，若 $forall ain A,f(a)=0$ ，那麼就稱映射 $f$ 是一個零映射。

映射的加法： $( extbf{A+B})alpha riangleq extbf Aalpha+ extbf Balpha$ 。

映射的數量乘法： $( extbf{kA})alpha riangleq extbf A(kalpha)=k extbf A(alpha)$ 。

乘法（複合）： $( extbf{AB})alpha riangleq extbf A( extbf Balpha)$ （類似於函數的複合）。

下面簡單給出幾個性質。

Prop（設線性變換 $extbf A, extbf B$ 對應基 $alpha_1，alpha_2，cdots,alpha_n$ 下的矩陣為A和B）

1. $extbf{A+B}$ 在基 $alpha_1，alpha_2，cdots,alpha_n$ 下對應的矩陣為 $A+B$ 。

proof
$egin{align} ( extbf{A+B})(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)&=(( extbf{A+B})alpha_1,( extbf{A+B})alpha_2,cdots,( extbf{A+B})alpha_n) \ &=( extbf{A}alpha_1+ extbf{B}alpha_1, extbf{A}alpha_2+ extbf{B}alpha_2,cdots, extbf{A}alpha_n+ extbf{B}alpha_n) \ &= extbf{A}(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)+ extbf{B}(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n) \ &=(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)A+(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)B \ &=(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)(A+B) end{align}$

2. $k extbf A$ 在基 $alpha_1，alpha_2，cdots,alpha_n$ 下對應的矩陣為 $kA$ 。

proof：證法與上一性質類似。

3. $extbf{AB}$ 在基 $alpha_1，alpha_2，cdots,alpha_n$ 下對應的矩陣為 $AB$ 。

proof
$egin{align} ( extbf{AB})(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)&=(( extbf{AB})alpha_1,( extbf{AB})alpha_2,cdots,( extbf{AB})alpha_n) \ &=( extbf{A}( extbf{B}alpha_1), extbf{A}( extbf{B}alpha_2),cdots, extbf{A}( extbf{B}alpha_n)) \ &= extbf{A}( extbf{B}alpha_1, extbf{B}alpha_2,cdots, extbf{B}alpha_n) \ &= extbf A[ extbf{B}(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)] \ &= extbf A[(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)B] \ &=[ extbf A(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)]B \ &=[(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)A]B \ &=(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)(AB) end{align}$

【注】這裡的第6個等號需要解釋一下
由 $extbf B$ 是n維線性空間V上的線性映射知，矩陣 $B$ 是 $n imes n$ 型矩陣，我們設
$B= egin{pmatrix} b_{11} &b_{12} &cdots &b_{1n} \ b_{21} &b_{22} &cdots &b_{2n} \ vdots &vdots & &vdots \ b_{n1} &b_{n2} &cdots &b_{nn} end{pmatrix}$
那麼就有
$egin{align} &quad extbf A[(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)B] \ &= extbf A[(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n) egin{pmatrix} b_{11} &b_{12} &cdots &b_{1n} \ b_{21} &b_{22} &cdots &b_{2n} \ vdots &vdots & &vdots \ b_{n1} &b_{n2} &cdots &b_{nn} end{pmatrix}] \ &= extbf A[ egin{pmatrix} b_{11}alpha_1+b_{21}alpha_2+cdots+b_{n1}alpha_n, cdots, b_{1n}alpha_1+b_{2n}alpha_2+cdots+b_{nn}alpha_n end{pmatrix}] \ &=( extbf A(b_{11}alpha_1+b_{21}alpha_2+cdots+b_{n1}alpha_n),cdots, extbf A(b_{1n}alpha_1+b_{2n}alpha_2+cdots+b_{nn}alpha_n)) \ &=(b_{11} extbf Aalpha_1+cdots+b_{n1} extbf Aalpha_n,cdots,b_{1n} extbf Aalpha_1+cdots+b_{nn} extbf Aalpha_n) \ &=[( extbf Aalpha_1, extbf Aalpha_2,cdots, extbf Aalpha_n)] egin{pmatrix} b_{11} &b_{12} &cdots &b_{1n} \ b_{21} &b_{22} &cdots &b_{2n} \ vdots &vdots & &vdots \ b_{n1} &b_{n2} &cdots &b_{nn} end{pmatrix} \ &=( extbf Aalpha_1, extbf Aalpha_2,cdots, extbf Aalpha_n)B \ &=[ extbf A(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)]B end{align}$
這就是上面第6個等號的詳細證明。

有點累？

hhh如果我告訴你以上都是鋪墊呢？（皮？）

哈哈好了，現在我們來探討另一個比較有趣的問題，即「既然一個線性映射在不同的基下可以有不同的矩陣表示，那麼這些矩陣之中是否有一種表現形式最簡單也最易於研究的一個矩陣呢？」

或者說，我們能否在某些線性映射中找到一類簡單的矩陣表示？

可對角化的概念引入

我們知道，最簡單的矩陣無非就是單位矩陣了，但是能有基使得對應的矩陣是單位矩陣的線性變換數量太少了（有點拗口hhh）。

因為如果有基 $alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n$ 使得線性變換 $extbf A$ 對應單位矩陣I的話，就有

$extbf A(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)=(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)I$

也就是說

$extbf Aalpha_1=alpha_1, extbf Aalpha_2=alpha_2,cdots, extbf Aalpha_n=alpha_n$

這實際上就是恆等映射了，我們簡單證明一下。

proof
$forallalphain V$ ，都有係數 $k_1,k_2,cdots,k_nin F$ ，使得 $alpha=k_1alpha_1+k_2alpha_2+cdots+k_nalpha_n$
於是
$egin{align} extbf Aalpha&= extbf A(k_1alpha_1+k_2alpha_2+cdots+k_nalpha_n) \ &=k_1 extbf A(alpha_1)+k_2 extbf A(alpha_2)+cdots+k_n extbf A(alpha_n) \ &=k_1alpha_1+k_2alpha_2+cdots+k_nalpha_n \ &=alpha end{align}$
即 $forallalphain V, extbf Aalpha=alpha$ ,這正是恆等映射的定義。

所以說能有基使得對應矩陣為單位矩陣的線性映射只有恆等映射，這就顯得很沒意思了。

於是我們把條件放寬一點，數量矩陣？

數量矩陣的情況也差不多，雖然將涉及到的線性映射範圍擴大了一些，但並沒有擴大很多

再放寬一點？

還記得我們之前提到過的嗎？對角矩陣，這也是一類比較簡單的矩陣，因為它比較重要，我們這裡重新給出它的定義。

Def：除了主對角元外，其餘元素全為零的矩陣稱為對角矩陣。

Def：如果V中存在一個基，使得線性變換 $extbf A$ 在這個基下的矩陣是對角矩陣，那麼就稱線性變換 $extbf A$ 可對角化。

之後我們準備探討哪些線性變換可對角化，即一個線性變換滿足哪些性質就可對角化了，然後再進而討論不可對角化的矩陣，看看他們是否可以找到其他相對簡單一點的矩陣。

再次之前，我們需要給出相當量的預備知識（甚至要一篇多的篇幅）。

這裡我要著重指出的是，儘管預備知識很多，還是請大家不要忘記引入這些東西的初心：研究可對角化問題。

當然了，這些東西在其他的地方也有很大甚至更大的用途，但是為了方便講述，這裡我們只討論這一種思路。

廢話就講到這，下面我們繼續。

Are you ready？

OK，作為第一個需要的預備知識，今天我們先來介紹下行列式。

可對角化的預備一：矩陣的行列式（上）

為了說清楚行列式的定義，我們需要先來解釋下逆序與逆序數。

Def：在一個排列中，如果一對數的前後位置與大小順序相反，即前面的數大於後面的數，那麼它們就稱為一個逆序。一個排列中逆序的總數就稱為這個排列的逆序數，一個n元排列 $i_1i_2cdots i_n$ 的逆序數我們記做 $au(i_1i_2cdots i_n)$ 。

舉個例子，在4元排列2143中，我們一共可以找出 $C_4^2=6$ 對數，即

21，24，23，14，13，43

其中，21，43是逆序（其餘都是順序），於是我們就稱4元排列2143的逆序數為2，記作 $au(2143)=2$ 。

再求一下 $au(n,n-1cdots 321)$ 試試？

對，就是 $(n-1)+(n-2)+cdots+3+2+1=frac{n(n-1)}{2}$ 哈哈（強行尬聊=—=！）。

Def：一個排列的逆序數如果為奇數，我們就稱這個排列為奇排列，如果為偶數就稱為偶排列。

啊對，猜一下對於數 $1,2,3,cdots,n$ 總共有多少種不同的排列？

對，是 $n!$ 種！

OK，準備工作已搞定，我們現在給出行列式的定義（前方高能預警！）。

Def：對於n階方陣 $A=egin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &cdots &a_{1n} \ a_{21} &a_{22} &cdots &a_{2n} \ vdots &vdots & &vdots \ a_{n1} &a_{n2} &cdots &a_{nn} end{pmatrix}$ （這很重要！只有方陣才有行列式！），我們它的行列式（記做 $|A|$ 或 $egin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &cdots &a_{1n} \ a_{21} &a_{22} &cdots &a_{2n} \ vdots &vdots & &vdots \ a_{n1} &a_{n2} &cdots &a_{nn} end{vmatrix}$ ）

$|A| riangleqsum_{j_1j_2cdots j_n}(-1)^{ au(i_1i_2cdots i_n)+ au(j_1j_2cdots j_n)}a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}cdots a_{i_nj_n}$ （這裡是對j的指標的n！個不同的排列求和）

其中， $i_k,j_kinleft{ 1,2,cdots,n ight},k=1,2,cdots,n$ 且 $i_1,i_2,cdots,i_n$ 兩兩不同， $j_1,j_2cdots,j_n$ 兩兩不同。

【注】我知道這裡很不直觀也很不好懂，沒辦法，國內的書都是這樣寫的啊（可能是我看的書少），《Linear Algebra Done Right》倒不是這樣寫的，但是他把行列式放到最後了啊……

好吧，或許以下這兩種定義你會看著稍微舒服點。

由乘法的交換律，我們可以得到

$egin{align} &sum(-1)^{ au(i_1i_2cdots i_n)+ au(j_1j_2cdots j_n)}a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}cdots a_{i_nj_n} ag{1} \ =&sum_{j_1j_2cdots j_n}(-1)^{ au(j_1j_2cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}cdots a_{nj_n} ag{2} \ =&sum_{i_1i_2cdots i_n}(-1)^{ au(i_1i_2cdots i_n)}a_{i_11}a_{i_22}cdots a_{i_nn} ag{3} end{align}$

【注】由此可以看出，在行列式中行與列的位置是對稱的，即矩陣A在行列互換( $a_{ij}leftrightarrow a_{ji}$ )之後行列式 $|A|$ 的值不變。（你可以想一下這是為什麼，如果這個都想明白了行列式的定義自然就理解了）

（反正我當時看了這個定義好久才明白。

好了，我們來舉個例子吧！

【例題一】求下列行列式 $egin{vmatrix} a_{11} &0 &cdots &0 \ 0 &a_{22} &cdots &0\ vdots &vdots & &vdots \ 0 &0 &cdots &a_{nn} end{vmatrix}$ 的值。

(1) $egin{vmatrix} a_{11} &0 &cdots &0 \ 0 &a_{22} &cdots &0\ vdots &vdots & &vdots \ 0 &0 &cdots &a_{nn} end{vmatrix}$ (2) $egin{vmatrix} 0 &cdots &0 &a_{1n} \ 0 &cdots &a_{2,n-1} &0 \ vdots &vdots & &vdots \ a_{n1} &0 &cdots &0 end{vmatrix}$

【分析】注意，行列式中的每個求和項都是處於不同行不同列的，所以第(1)題中只有一個排列非零，於是

$egin{align} &egin{vmatrix} a_{11} &0 &cdots &0 \ 0 &a_{22} &cdots &0\ vdots &vdots & &vdots \ 0 &0 &cdots &a_{nn} end{vmatrix} \ =&(-1)^{ au(123cdots n)}a_{11}a_{22}cdots a_{nn} \ =&(-1)^0a_{11}a_{22}cdots a_{nn} \ =&a_{11}a_{22}cdots a_{nn} \ end{align}$

同理，第(2)題

$egin{align} &egin{vmatrix} 0 &cdots &0 &a_{1n} \ 0 &cdots &a_{2,n-1} &0 \ vdots &vdots & &vdots \ a_{n1} &0 &cdots &0 end{vmatrix} \ =&(-1)^{ au(n,n-1cdots321)}a_{11}a_{22}cdots a_{nn} \ =&(-1)^{frac{n(n-1)}{2}}a_{11}a_{22}cdots a_{nn} end{align}$

行，有關行列式我們就先說到這裡，下一篇我們將繼續探討行列式的一些性質與它和我們之前所探討內容的聯繫。

好啦，今天的內容就講到這裡，碼字不易，歡迎各位看官點贊收藏感謝打賞支持，小生在此拜過各位啦~~

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