指數函數（複數）

09-05

指數函數（複數）

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預備知識　指數函數，複數，三角恆等式，導數

圖1：複數域中的指數函數

　　複數域中的指數函數被定義為

$w = mathrm e^z = mathrm e^{x + mathrm i y} = mathrm e^x(cos y + mathrm isin y)$ 　　(1)

在複平面上表示這個函數，則指數的實部 $x$ 控制因變數 $w$ 的模長，虛部 $y$ 控制 $w$ 的幅角，如圖 1

$|w| = mathrm e^x qquad arg(w) = y$ 　　(2)

當指數為純虛數時，式 1 變為著名的歐拉公式

$mathrm e^{mathrm i x} = cos x + mathrm isin x$ 　　(3)

雖然這裡的 $x$ 一般是實數（物理中應用得最多的情況），但根據複數域三角函數的定義，對於任何複數 $z$ ，都有歐拉公式

$mathrm e^{mathrm i z} = cos z + mathrm isin z$ 　　(4)

將「三角函數（複數）」中的式 1 和式 2 代入即可證明．

　　根據式 1 的定義結合兩角和公式（式 3），容易證明 $mathrm e^z$ 同樣滿足

$mathrm e^{z_1 + z_2} = mathrm e^{z_1}mathrm e^{z_2}$ 　　(5)

（剩下部分見頂部的「閱讀原文」）