Functional Analysis Week 1

09-05

來自專欄從分析到概率到幾何4 人贊了文章

第一周嘛就是熱身一下也沒講什麼特別的，回顧一些基礎概念和基礎結論什麼的。

線性空間和線性映射的定義什麼的就沒什麼好說的了，線性映射的範數定義也是比較熟悉的。複習的第一個定理是如果 $X$ 是一個賦范線性空間， $Y$ 是一個Banach空間，那麼所有有界線性運算元組成的賦范線性空間 $L(X, Y)$ 也是Banach的。具體的證明也就是搬弄一下Cauchy列和三角不等式，但是因為是第一周吧Prof. Stern為了嚴密也是讓我們先熱身一段時間所以寫得很詳細了，那我也碼一下好了： $L(X,Y)$ 中找到一個Cauchy列 ${A_n}_{n=1}^infty$ ，對於任意一個向量 $xin X$ ，利用定義可以證明 ${|Ax|}_{n=1}^infty$ 是一個Cauchy列，由於 $Y$ 是一個Banach空間可知這個序列收斂到某點 $Ax$ ，由此可以定義一個映射 $Ax=lim_{n o infty}A_nx$ ，利用極限的線性性可以證明這是個線性映射，利用三角不等式很容易證明這是個有界映射，由此得到了 $L(X,Y)$ 中一個有界線性運算元，故其是Banach的。

下面一個重要定理是說線性運算元有界和連續性等價，這個結果非常熟悉而且證明就是玩三角不等式，不仔細說了。

提到了範數的等價性，給出了不等價範數的例子，這個是非常好構造的，在 $L^p$ 空間裡面一抓一大把，但是下面的結論就非常重要了：有限維線性空間所有的範數都等價。這個定理徹底結束了對有限賦范維線性空間的研究，因為其上的由範數決定的度量以及拓撲性質都與歐式空間 $mathbb{R}^n$ 完全相同。當然這個定理的證明也是要與歐式空間相互聯繫起來，聯繫方式也是非常自然，選取一組基 ${m{e_1},...,m{e_n}}$ ，對於任意一個向量 $x=a_1m{e_1}+...+a_nm{e_n}$ 賦予一個歐式結構，對於任意一個其他的範數都可以（利用Cauchy-Schwarz不等式）進行控制來證明他們等價，Prof. Stein換了一種更巧妙的方法，由於 $S^{n-1}$ 是歐式空間中的緊緻集，而其上任意一個範數都是連續的（用Cauchy-Schwarz不等式換到Euclidean空間裡面進行控制），於是根據最大值最小值定理得到這個範數在單位球面這個緊緻集上有最大最小值，利用這兩個值以及 $|x|=|x|_{E}|frac{x}{|x|_{E}}|$ 就可以得到與歐式範數等價的控制了。

這個定理當然有很多比較好的推論：所有有限維賦范線性空間的都是Banach的（由歐式空間完備性）；一個賦范線性空間的任何有限維子空間都是閉的（同上）；任何有限維賦范線性空間 $X$ 到賦范線性空間 $Y$ 的線性映射都是有界的。

前兩個比較trivial了，但是第三個還是有點出乎意料的，而且證明上也非常巧妙：構造 $X$ 上面的一個範數 $|x|_{X}=|x|_X+|Ax|_Y$ （容易驗證這確實是個範數），那麼根據有限賦范維線性空間範數的等價性我們能找到一個常數 $C$ 使得 $|x|_{X}le C|x|_X$ ，那麼就有 $|x|_X+|Ax|_Yle C|x|_X$ ，馬上得到 $A$ 是個有界的...簡直神了這個

個人感覺下面的一個定理比較重要：對於賦范線性空間，下列條件等價：

1. $dim X<infty$

2. $B(0,1)$ 是緊的

3. $S(0,1)$ 是緊的

(1)到(2)現成結論，(2)到(3)因為緊空間的閉子空間還是緊空間，(3)到(1)比較麻煩要先證明一個引理：如果 $X$ 是個賦范線性空間， $Y$ 是一個非平凡閉子空間，對於任意給定的 $0<delta<1$ ，一定能找到 $xin X$ 使得 $|x|=1$ 並且 $inf_{yin Y}|x-y|>1-delta$ .

這個引理我剛開始弱智了沒get到點，糾結了半天也沒發現哪裡弄錯了直到老師講完了整個命題的證明我才緩過來知道哪裡錯了...我就讓 $X$ 是三維歐式空間然後 $Y$ 是一個單位閉球，那麼整個 $|x|=1$ 都是 $Y$ 的子集了 $inf_{yin Y}|x-y|$ 肯定是0了，後來才想起來 $Y$ 首先要是個線性空間...所以如果是閉球那麼軸向倍乘馬上就變成全空間和非平凡矛盾了，排除這個弱智問題之後這個命題在幾何上變得好理解多了。而且這個證明就是循著幾何的角度來的，Prof. Stern也說了如果這個是內積空間上用非平凡性馬上就找到一個 $Y$ 的正交補然後QED了，可惜我們手頭沒有內積只有範數，要做的就是利用幾何直覺強行把「正交」的方向給構造出來。

引理證明如下，對於給定 $x_0in Xackslash Y$ 令 $d=inf_{yin Y}|x_0-y|$ ，則 $d>0$ 否則根據 $Y$ 的完備性得到 $x_0in Y$ 產生矛盾。那麼根據下確界定義我們選擇 $y_0 in Y$ 使得 $|x_0-y_0|<frac{d}{1-delta}$ （這裡我開始想為什麼不直接等號成立多方便然後才想起來 ${y_n}$ 似乎並不一定收斂到一個點使得等號成立，雖然如果用二維三維歐式空間來輔助思考的時候這樣的點是一定可以得到的，這大概也說明無窮維空間有本質性的差別），注意到這裡其實我們已經強行把「正交」的方向給構造出來，令 $x=frac{x_0-y_0}{|x_0-y_0|}$ ， $|x-y|=frac{|x_0-y_0-|x_0-y_0|y|}{|x_0-y_0|}>frac{d}{dackslash (1-delta)}=1-delta$ ，於是我們得到了一個單位球面上的矢量滿足條件。

有了這個引理上面最後一個等價就非常trivial了...假如不是有限維的那麼任意找一組線性無關單位向量張成一個閉子空間 $<m{e_1},...,m{e_n}>$ ，那麼按照引理我們可以找到一個線性無關的單位向量 $m{e_{n+1}}$ 使得 $|m{e_{n+1}}-m{e_j}|>1-delta$ 對於 $jle n$ 都成立，反覆進行這個構造我們成功得到了一列單位球面上沒有任何子序列收斂的序列，與緊性矛盾。

第一周最後一個東西是關於商空間的了，最開始在離散裡面學二元關係學到等價關係的時候還覺得這個東西沒什麼特別的，但是沒想到幾乎在後面各個數學分支都見到了它。

需要注意是 $Xackslash Y$ 裡面的 $Y$ 在這裡只討論是閉的（其實很長時間我都一直沒想過子空間竟然還有開的...），Prof. Stern：如果不是閉的那麼得到的商空間可能稀奇古怪甚至不Hausdorff，你肯定不喜歡任何兩個點都不能分開的感覺，就像參加一場萬聖節party一樣，你們喜歡萬聖節的感覺嗎？（這是什麼鬼比喻）

商空間範數當然是用等價類的下確界來定義的，這也沒什麼需要強調的了，最後一個比較重要的定理：如果 $X$ 是一個賦范線性空間， $Ysubset X$ 是一個閉子空間，如果 $X$ 是一個Banach空間，那麼商空間 $Xackslash Y$ 也是Banach的。

這個證明其實不難，就是要多折騰一下商空間範數的關係，稍微寫一下。

對 $Xackslash Y$ 的柯西列 ${x_n}$ ，我們可以找到正整數 $N_j$ 使得對於任意 $n, m> N_j$ 都有 $|overline{x_n}-overline{x_m}|<4^{-j}$ ，其中bar表示類代表元，對於每一個正整數 $j$ 令 $n_j=N_j+1$ ，那麼按照商空間範數定義存在 $y_1, y_2, y_3...in Y$ 使得 $|x_{n_1}-x_{n_2}-y_1-y_2|<1/2$ , $|x_{n_2}-x_{n_3}+y_2-y_3|<1/2^2...$ 令 $z_j=x_{n_j}+y_j$ ，即有 $|z_j-z_k|<2^{-min{j,k}}$ ，馬上可知 $z_n$ 是個柯西列，根據 $X$ 的完備性可知存在 $z_0=lim_{n o infty}z_n$ ，我們斷言 $z_0=x_0+y_0$ 中的 $x_0$ 作為類代表就是商空間中的極限點，這是由於按照商空間範數定義 $|overline{x_{n_j}}-overline{x}|le|z_n-z|$ ，而後者是柯西的，故得 $Xackslash Y$ 也是Banach的。