畢達哥拉斯的數

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撰文/盧昌海

畢達哥拉斯（Pythagoras）是公元前6世紀的古希臘先賢。由於比泰勒斯晚了半個世紀，「第一位哲學家」和「科學之父」的頭銜都旁落了，但畢達哥拉斯也有自己的「第一」或「最早」。比如他對樂器結構與音律間的若干關係做出了數學描述，被認為是以數學形式表述自然律的第一人。亞里士多德則稱其為最早推進數學研究的人。此外，畢達哥拉斯雖不是「第一位哲學家」，「哲學」一詞據說卻是他首先使用的。

跟泰勒斯相似，畢達哥拉斯也不曾留下文字，我們對他的了解只來自後人的記述。與泰勒斯不同的是，畢達哥拉斯有龐大的「追星族」，其中核心人物構成了所謂畢達哥拉斯學派。畢達哥拉斯去世後，學派出現分裂，部分成員繼承了他的科學與數學，另一部分則沿襲了他的神秘主義，相互間多有爭鬥。除學派成員外，外圍「愛好者」們也不甘寂寞，在長達數世紀的時間裡，冒學派之名出版了不少著作。這種相互爭鬥和魚龍混雜，加之年代久遠，給後世的畢達哥拉斯研究帶來了不小的困擾，傳說中的某些畢達哥拉斯的成就究竟是出自他本人還是學派，甚至是否真實，都成了糊塗賬。因此有必要預先說一句，本文雖在真實性方面有所甄選，其中的某些「畢達哥拉斯」卻實為「畢達哥拉斯學派」之簡稱。

有可能是受出現於音律中的整數及整數之比的啟發，畢達哥拉斯對數給予了特殊重視。視之為主宰宇宙萬物的規律，以及宇宙和諧的根基。對後世學者如約翰內斯·開普勒（Johannes Kepler）等有很大影響的「天球的音樂」概念亦發端於此。而終極的概括則是所謂「萬物皆數」的觀念。

由於數學在現代科學中的重要作用，畢達哥拉斯的「萬物皆數」聽起來也許比泰勒斯的「萬物皆水」來得順耳。不過，畢達哥拉斯的數跟現代數學中的數是有很大區別的。首先，畢達哥拉斯的數乃是整數（或整數之比）；其次，據亞里士多德記述，畢達哥拉斯視數為「整個自然的初始之物」，從而有著近乎物質粒子的實體性。對此的一個佐證，是畢達哥拉斯擅用數的排列與堆壘構築形狀—如同用物質粒子構築物質，並且他從中發現了一些有關整數的規律，比如1＋2＋…＋n＝n(n＋1)/2等。我們如今沿用的某些帶幾何意象的數的術語，比如「平方」「立方」等，亦是拜其所賜。

不過另一方面，畢達哥拉斯對數的抽象層面也並非一無所知。對這一點的佐證，是畢達哥拉斯率先對純數學與應用數學作了區分，這是他對數學的重大影響之一。其中純數學包括算術與幾何，研究心智想像出的東西；應用數學包括音樂和天文，研究感官探知到的東西。由於數是算術的研究對象，因此，這一區分表明畢達哥拉斯將數視為心智想像出的東西，從而具有抽象性。綜合地看，畢達哥拉斯的數跟泰勒斯的水那樣的「原始質料」相比，抽象度無疑高得多，甚至可視為數學研究對象抽象化的開端。

後世學者曾對算術、幾何、音樂、天文四大領域在畢達哥拉斯學說中的地位作過有趣的概括，即：算術是數的本身，幾何是空間中的數，音樂是時間上的數，天文是時空里的數。這種概括很好地體現了「萬物皆數」的觀念。

讚美日出的畢達哥拉斯學派。秉持著神秘主義、遵守著種種戒律的畢達哥拉斯學派就像狂熱的信徒一樣追尋與崇拜著自然中的數，特別是在天文與音樂領域。

基於「萬物皆數」，畢達哥拉斯展開了自己的推理。由於將數這樣相對抽象的東西視為主宰宇宙萬物的規律，畢達哥拉斯的推理具有不同於以往的特色。

比如畢達哥拉斯視1、2、3、4分別代表點、線、面、體，並對代表「體」的4情有獨鍾，視1、2、3、4疊合而成的三角圖形為神聖—甚至在起誓時都要以之為名義。該圖形中的1、2、3、4相加而得的10則被視為完美數。在「萬物皆數」的觀念下，這種數字遊戲被賦予了實在性，比如被視為完美的天球的數目被認為必須等於10這個完美數。不幸的是，當時「知道」的天球只有9個，即地球、月亮、太陽、五大行星（水星、金星、火星、木星、土星）以及最外層的群星—這裡要提醒讀者的是，畢達哥拉斯的宇宙體系並不是地心說，而是所有天球都繞一個不可見的所謂「中央火」轉動的體系，因此，地球也佔一個天球。完美數是10，天球卻只有9個，怎麼辦呢？畢達哥拉斯提出存在一個「反地球」—不是反物質地球，而是在「中央火」的另一邊，從而看不見的地球。對畢達哥拉斯的這種推理，亞里士多德批評道：「他們不是在為現象尋找理論和原因，而是試圖強迫現象滿足他們的某些理論和觀點」。不過換一個角度看，與以往的理論只是單純解釋現象不同，畢達哥拉斯的這種推理也許是科學史上首次憑藉理論做出預言—只可惜這預言是原則上不可觀測的，從而起不到檢驗理論的作用。

畢達哥拉斯的「萬物皆數」大體就是如此。在那個時代，這種泛泛之論通常是推不翻的（雖每位哲學家皆可另起爐灶），但有意思的是，畢達哥拉斯的「萬物皆數」卻很快遭到了打擊。更有意思的是，打擊居然來自畢達哥拉斯的另一項著名貢獻：畢達哥拉斯定理。

畢達哥拉斯本人對畢達哥拉斯定理究竟有過何種貢獻，其實很難確定。可以肯定的倒是，畢達哥拉斯定理不是畢達哥拉斯首先提出的。據目前的考證，早在公元前16～前19世紀的所謂第一巴比倫王朝期間，即比畢達哥拉斯早了千年之前，人們就不僅知道了（3，4，5）、(5，12，13）之類滿足 的所謂畢達哥拉斯三元組，而且還用了 來計算矩形對角線的長度，顯示出對普遍而非特例下的畢達哥拉斯定理的知曉。不過畢達哥拉斯的「冠名」倒也不是純屬烏龍，也許可以這麼說，畢達哥拉斯是使畢達哥拉斯定理傳播並影響後世的核心人物。

由畢達哥拉斯定理立刻可以得出，一個邊長為1的正方形的對角線長度為。另一方面，讀者們在小學時也許就證明過，是所謂無理數，即並非整數或整數之比。這一點對畢達哥拉斯的「萬物皆數」構成了打擊—因後者是建立在整數（或整數之比）的基礎上的。發現這一點的據說是公元前5世紀的畢達哥拉斯學派成員希帕索斯（Hippasus），但沒有確切證據。另外，據說發現者—無論是不是希帕索斯—被畢達哥拉斯的信徒扔進了海里，或被逐出了學派，這一點同樣也無確切證據。不僅如此，就連是不是最早得到證明的無理數也有一定爭議。有學者認為，最早被證明的無理數有可能是正五邊形的邊與對角線之比，理由是：正五邊形是畢達哥拉斯學派所熟悉的圖形，且它的邊與對角線之比可用當時更流行的純幾何手段證明為無理數，而無需像證明為無理數那樣用到奇數與偶數的性質。此外，那兩個線段之比為黃金分割，是公元前5世紀就已被發現的（雖當時未用那樣的名稱），時間上也跟傳說中無理數的發現相一致。

無理數的發現細想起來頗堪玩味，因為那實際上是用幾何手段推翻了「萬物皆數」。儘管發現者被扔進大海云云有可能只是傳聞，但無理數的發現對「萬物皆數」構成打擊是公認的。在那個並無先驗理由認定幾何比算術可靠的年代，能承認無理數的發現打擊了「萬物皆數」，似乎意味著畢達哥拉斯雖主張「萬物皆數」，實際上對幾何的認同度不在算術之下。因為否則的話，完全可以用「萬物皆數」反過來否定畢達哥拉斯定理。這種為維護錯誤信念而否定其他東西的做法在古代科學史上並非鮮見，比如亞里士多德就曾為維護自己的重物下落理論而否定真空。畢達哥拉斯沒有那樣做，在無形中提升了幾何的地位，畢達哥拉斯之後的柏拉圖和歐幾里得在這點上跟畢達哥拉斯一脈相承，被認為是在一定程度上受了他的影響。

英國哲學家阿爾弗雷德·諾斯·懷特海（Alfred North Whitehead）曾經說過，整個歐洲哲學傳統實質上是對柏拉圖的「一系列腳註」，「畢達哥拉斯是幸運的，他的哲學學說通過柏拉圖的頭腦傳到了我們」。另一方面，以對科學的影響而論，歐幾里德是比柏拉圖更重要的人物，他是古希臘幾何的集大成者，被尊為「幾何之父」。對柏拉圖和歐幾里得的影響大大增強了畢達哥拉斯在科學史上的重要性，就連對他很有些不以為然的英國哲學家伯特蘭·羅素（Bertrand Russell）也承認，以思想而論，無論在他明智還是不明智時（後者主要指他的神秘主義），畢達哥拉斯都是「有史以來最重要的人物之一」。

本文發表於《科學世界》2018年第8期