對線性代數的理解

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在剛開始學習線性代數時一直不能深刻的理解，正好最近準備考研，對線性代數有了一些理解，希望能對和我當初一樣對線性代數懵逼的同學有一些幫助；寫了一部分，後續有時間在完善；

------------考研已結束 對文章做部分修改------------

第一章：行列式

首先申明：行列式是一個數。行列式一定是nxn型，即就是行數和列數相等，作為一個工具，用來求解線性方程和後面章節將要學到的特徵值等問題。求解線性方程時，行列式的各項就是n個線性方程的所有係數，我們在化簡線性方程式時一般都是把其中一個方程的總體的k1倍加到另外一行從而通過消元來求解線性方程的解。同樣，行列式只不過將各項係數提取出來而已，其化簡只能是是行與行之間的化簡消元。化簡消元時也有一些技巧：爪型；有一些特殊的方程如：范德蒙德行列式；

當然在求解線性方程時有一個克拉默法則，對於簡單的線性方程可以直接套用克拉默法則求解。在應用克拉默法則時應注意：①如果是齊次線性方程組，當係數行列式≠0時，只有零解；係數行列式＝0時，必有非零解；②如果是非齊次線性方程組，若係數矩陣的秩＝增廣矩陣的秩＝n（未知數個數），有唯一解；若係數矩陣的秩＝增廣矩陣的秩＜n，有無窮解；係數矩陣的秩＜增廣矩陣的秩，無解；

還有一個拉普拉斯定理，是行列式求解的另一種方法（推廣）。

第二章：矩陣

首先申明：矩陣是一個表格。行數和列數一般不相等，當行數＝列數時稱為方陣，方陣為特殊的矩陣，後面的好多知識都是針對方陣來展開研究的。

矩陣的運算要注意兩點：一般不滿足乘法交換律和消去率。

有一些特殊的方陣：①對角矩陣：除主對角線上元素之外都是0的方陣稱為對角矩陣；主對角元素都為1的對角矩陣稱為單位矩陣。②若A的轉置＝A，則稱A為n階對稱矩陣；若A的轉置＝--A，則稱A為n階反對稱矩陣。

方陣的一些運算性質：①一般來說

；②方陣的行列式：AB的行列式＝A的行列式XB的行列式；A+B的行列式沒有公式，一般根據已知條件將其轉化為乘積的形式。注意：矩陣的矩陣之間運算後依然是矩陣（除非運算後矩陣中只有一個元素）。

逆矩陣（方陣）存在的條件是矩陣的行列式≠0，可以利用逆矩陣求解線性方程組

初等矩陣與初等變換：將單位矩陣初等變換一次後所得到的的矩陣就是初等矩陣。經n次初等變換後所得到的矩陣與原矩陣的秩相同；

分塊矩陣主要用於簡化計算。

第三章 向量

向量只不過是將矩陣的某一行或某一列單獨提取出來，向量和矩陣的本質都是方程組，只不過兩者研究的方向有所區別。當然也有很多聯繫，譬如矩陣的秩就是向量組的極大線性無關組中向量的個數，矩陣的研究是基於秩，而向量組的研究是基於極大線性無關組。

那麼為什麼要找極大線性無關組呢？通俗的說就是：精益求精。把不需要的，冗餘的全部清除掉，留下一些真正有用的東西。從解方程的角度考慮，比如一個方程組中有3個未知量，然而卻有4個方程，那麼這四個方程中至少有一個方程是可以由其它方程加減表示（線性表示）表示的。那麼真正有用的這幾個線性方程組在向量中就是極大線性無關組。

第四章 線性方程組

前邊說了那麼多，到了第四章，終於回到本家（本質）了。我倒覺得將第四章放在教材的第一章倒挺合適，可以讓學生運用高中的知識來解一些三元、四元方程組，切身體會一下解的過程的繁瑣性，自然就理解了後續可能的重要性，這對教師教學也有很大幫助。

第五章 特徵值和特徵向量

前123章是為第4章找工具，那麼可以這麼說，前1234章合起來是為第5章找工具。

對於本章的學習就沒有前4章那麼能通俗的理解，關於特徵值和特徵向量的定義，書上怎麼說的就怎麼記（學）吧。

第六章 二次型

歸根到底，第5章也是為第6章找工具，本章有一個問題，可能不太好理解，那就是二次型的對角化，先說對角化的本質：旋轉。當給一個二次型賦予一個值後，它表示的是一個空間圖形，這個圖形可能是橢球面，可能是二次曲面等等，和說給的二次型有關。那麼為什麼要對角化呢，比如一個正三維坐標系xyz，一個曲面在此三維坐標系的位置是隨意擺放的，那麼此時對於研究這個曲面就不太好處理，怎麼才能好辦呢？就可以把這個曲面旋轉一下。比如一個橢球面隨意的丟（懸浮）在一個三維正坐標系中，那麼它在此三維坐標系中的方程表達式就比較複雜，如果將其旋轉一下，將長軸和x軸平行，短軸和y軸平行，其表達式豈不是簡單許多，當然單獨研究一個圖形，和它在坐標系中的位置是沒有關係的，只要形狀沒有改變，旋轉是不改變形狀的。

此時有一個問題，旋轉＋平移呢，將橢球體的中心放到三維正坐標系的原點，長軸和x軸平行，短軸和y軸平行，這對於研究豈不是更方便。我想這樣當然是可以的。