多元變數微積分-第六講-多元函數等值面圖、偏導數

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本講內容圖形豐富，希望大家能有直觀理解，另外，國外教材等值面圖是挺重要的研究多元函數的工具，國內教材基本沒有介紹，所以這裡給出詳細說明。

1.多元函數

現實中的函數與多個獨立變數相關，比如二元函數z=f(x,y)，函數值由兩個獨立的變數x,y決定。所以我們需要研究多元函數。

舉例：

2.多元函數的等值面圖

等高線圖是二維地圖為了表示地形的高度而採取的方法，具體來講如下圖一座山，用在高度上等間隔的平面去切割地形，得到的一族曲線便組成了等高線。

經過切割，得到下圖，等高線越密集，坡度越陡，越稀疏，坡度越緩。

那麼同樣道理，用等間隔的f(x,y)=c的平面去切割空間曲面，得到z=f(x,y)的等值面圖，

舉例1：

用等間隔平面切割，

等值面圖：

舉例2：

此曲面也稱為馬鞍面，在XOZ面上構造一條開口向上的拋物線，然後在YOZ面上構造一條開口向下的拋物線（兩條拋物線的頂端是重合在一點上的）。

畫出等值面圖（下面圖形來自百度）

3.偏導數

類比於一元函數，也想研究多元函數的變化率問題，在日常生活中，我們經常遇到這樣的問題，一個值和許多因素相關，我們習慣只改變一個變數值，其它變數值固定，看變化的情況。

這個思想就是偏導數：

固定y，讓x變化就是對x的偏導數：從圖中來看相當於經過A點做平行於xoz的平面，與空間曲面相交得到曲線，做切線，此切線的斜率即此點關於x的偏導。（具體公式去看課本，這裡理解思想）

固定x，讓y變化就是對y的偏導數：

4.全微分

如果x和y均有所擾動，則函數值是如何變化的呢？

幾何解釋：

一元函數用直線代替曲線，則n元函數用平面代替曲面，這個平面稱為切平面。

為了方便，舉例二元函數z=f(x,y)，

曲面上一點A，經過此點分別做平行於xoz和yoz的平面，然後與空間平面相交得到兩條空間曲線，

兩條空間曲線分別做切線，u的斜率（y不變）即偏導，v的斜率（x不變）即偏導。

斜率的具體所示，請看下面的示意圖：

經過兩條切線的平面即為切平面，

全微分的精髓就是利用切平面去代替A點附近的曲面，如此一來，

示意圖：

目前還有一個問題，切平面是通過兩條特殊的切線得到的，那麼是否經過此點的任意切線都在切平面內呢？答案是肯定的！

比如任意增加一個平行於z軸的平面，做相交曲線的切線，仍在切平面內：

從圖中看到xoy平面內的三個方向得到的三個切線（方嚮導數）仍在同一個平面內。

切平面的表達式：

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