Gap1：導數的概念

09-10

Gap1：導數的概念

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這是中學生學大學數學私塾課系列（Gap）的第一講。

先熟悉一下字母和符號：

$mathbb{N}, mathbb{Z},mathbb{Q}, mathbb{R},mathbb{C}$ 分別表示：
自然數（Natural）
整數（Integer）

有理數（Quotient）
實數（Real）
複數（Complex）
LaTex符號：mathbb{N}, mathbb{Z}, ... 在知乎上記筆記打公式，現在就開始體驗吧。
$forall$ 對於所有、任意，LaTex符號：forall
$exists$ 存在，LaTex符號：exists
$in$ 屬於，LaTex符號：in

動態觀點看函數

中學生對函數有了一定的靜態的了解，比如多項式函數、三角函數的特點、函數式的求根等。過渡到學習微積分，需要動態地研究函數。所謂動態，大約是指當自變數在變化時，函數值如何對應著變化。這種動態的觀點產生了微積分（calculus）以及分析（analysis）學，從而從過去的代數（algebra）學獨立出來。代數學會進一步往抽象的方向走。我們會穿插代數的知識，提高抽象理解能力。

回顧我們最熟悉的實域 $mathbb{R}$ 上定義的實函數，用映射表達為：

$f:mathbb{R} omathbb{R}$

$xmapsto f(x)$

第一行表示集合的映射，箭頭表示映射，LaTex: o
第二行表示元素的映射，帶豎線的箭頭，LaTex: mapsto

函數本身作為映射是不變的，要動態地看待映射，我們需要讓自變數變動起來，帶動函數值的變動：

$f:mathbb{R} omathbb{R}$

$x_1mapsto f(x_1)$

$x_2mapsto f(x_2)$

這樣由 $x_1 o x_2$ 的變動，看上去仍略為空泛。我們希望表達：

「從某地 $x$ 出發，經過某個過程 $Delta x$ ，產生某種變化 $Delta f = f(x+Delta x)-f(x)$ 」

這樣的內涵，從而研究映射的像相對於映射的源的變化。

變化率

我們感興趣的是函數值隨自變數變化的速度：

$frac{Delta f}{Delta x}$

注意到，由於這個變化率和 $x, Delta x$ 都相關，故更合理的方式是把變化的速度寫為：

$f^prime(x,Delta x) = frac{ f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}$

這是導函數（導數，derivative）的雛形。實際中大部分情況，若是導數存在，則它只與 $x$ 有關，與 $Delta x$ 是無關的。下面我們需要設法消去其中的 $Delta x$ 簡化它。我們將用到極限的技術。在此之前我們先介紹集合論中的等價關係，然後探討一下極限是如何成為一種構造等價關係的技術的。

等價關係

集合上的二元關係，若滿足自反、對稱、傳遞的性質，則稱為等價關係（equivalence relation）。比如，等於是等價關係：

$a=a; a=b Rightarrow b=a; a=b, b=c Rightarrow a=c$

而大於就不是等價關係，因為 $a>b$ 是不能推出 $b>a$ 的。

自然數/整數中的例子：

所有奇數等價，所有偶數等價
同餘關係的數構成等價子集，同餘關係為等價關係

實數中的例子：

具有相同相位的角度是等價關係

集合 $G$ 按等價關係 $sim$ 劃分為一組子集 ${G_i}$ ，以每個子集為元素，構成商集，記作：

$G/sim$

其中的每個子集 $G_i$ 都是由互為等價的元素構成的集合，取其中任何元素 $g_i in G_i$ 可以代表這個子集，記作：

$[g_i] in G/sim$

數列

我們用高等數學的語言來回顧一下過去學習的數列知識。把實數數列 ${x_n}$ 定義為：

$mathbb{N} o mathbb{R}$

$n mapsto x_n$

於是數列中的每一項都可以視為自然數下標的函數。由於 $infty$ 並不屬於 $mathbb{R}$ ，我們需要引入極限符號表達收斂數列的極限：

$x=lim_{n ightarrow +infty}{x_n}$

極限：一種構造等價關係的技術

如果不限於數列極限般離散的變化，則可以有一般性的極限。先看幾個例子：

$lim_{x ightarrow 0}{x} =lim_{x ightarrow 0}{sin x} =lim_{x ightarrow 0}{ an x} =0$

以上幾個被求極限的函數表達式可以視作函數空間 $C(mathbb{R})$ 中的不同元素：

$C(mathbb{R})$ 表示定義在 $mathbb{R}$ 上的連續函數的集合

雖然函數表達式不同，但在 $lim_{x ightarrow 0}{f(x)}$ 這樣相同的求極限方式下，它們的結果是相同的。易於驗證，這種求極限的方式構造了一種以極限值相同而等價的等價關係。

導函數

回到函數的變化率問題：

$f^prime(x,Delta x) = frac{ f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}$

我們需要設法消去其中的 $Delta x$ 簡化它。考慮在某一點 $x$ 的變化率，需要用 $lim_{Delta x ightarrow 0}{f(x)}$ 這樣求極限的方式，將變化限定在 $x$ 附近的局部範圍，成為一種局部化的處理技術。數學分析和線性代數的學習都建立在這種局部化的思想上。