聊聊那些煩人的微分中值定理和e^x的泰勒展式的八卦

09-11

來自專欄辛凱教育1 人贊了文章

Hello，大家好，首先感謝你們閱讀這篇文章。我是那個沒有錢約會，只能在這裡帶著大家學數學，擼知識的小王老師。今天寫這篇文章的目的很簡單------我樂意，你管得著嗎？哼！

哈哈哈~沒有啦，說正經的。是這樣的，我遇到的問題沒能在網上找到自己滿意的答案，所以才決定自己寫一篇關於這方面的文章，那也希望讀到這篇文章的小夥伴可以喜歡，如果也能幫你們解決一些問題，那將是小編莫大的榮幸！廢話不多說了，下面就開始了！

首先，我不準備直接對於今天遇到的問題進行解決，而是要把微分中值定理給大家介紹一下，尤其是拉格朗日定理！然後再對於我遇到的問題進行詳細地講解。

【1】什麼是微分中值定理？

你需要明白的是：微分中值定理不是特指某一個定理，而是一系列中值定理總稱，是研究函數的有力工具，其中最重要的內容是拉格朗日定理（小編今天遇到的問題就和拉格朗日有關）可以說其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情況或推廣。

前方高能：①羅爾定理是拉格朗日中值定理當函數在兩個端點的函數值相等時的特殊情況；②當柯西中值定理公式里分母對應的函數是f(x)=x時，就得到拉格朗日中值公式。So，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例。換句話說，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣。

有的小夥伴該說了，你不胡扯嗎？！既然柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，為什麼要說拉格朗日中值定理是最重要的呢？

別急嘛，你總得給人家個準備時間嗎！這其實有兩個原因：第一，拉格朗日中值定理的應用遠比柯西中值定理要廣泛得多。為什麼這麼說呢？拉氏定理在高等數學這門課裡面簡直就是為所欲為，可能高數是它二舅吧！總之應用非常多，到後續課程的學習時會有更多體會；第二，如果把拉格朗日中值定理應用到用參數方程 $y=f(x),x=g(x)$ 表示的函數 $F(x)=frac{f(x)}{g(x)}$ 裡面，你會發現得到的就是柯西中值公式，就是這麼神奇！其實，你也可以說拉柯西中值定理是拉氏中值定理的參數形式（但一般不這樣說），這也從側面說明了拉氏定理的核心地位。

【微分中值定理的證明】有的小夥伴該說了：」小編，你不會要按書上證明一遍吧？！我可最不喜歡看證明了，書上都有！」我雖然有病，但是吃著葯呢，還不至於啰嗦到那種地步，安啦

我簡述一下，證明這些定理的思路：微分中值定理一般有這麼三個：拉格朗日中值定理、羅爾定理、柯西中值定理。但是這裡我要先說另外一個定理，那就是我們法國的律師費馬，閑著無聊給「干」出來------費馬定理。要證明微分中值定理，要先證明費馬定理（費馬說了，不證不行，哈哈哈哈~）。那麼，一般的證明次序是：先證明Fermat定理，即可導函數的極值點導數為0。然後，用Fermat定理證明Rolle定理。接著，利用Rolle定理證明Lagrange定理與Cauchy定理（值得注意的是，在證明Lagrange和Cauchy的時候，往往需要構造輔助函數）。

這應該算是簡述吧，那接下來我要說的就是裡面的「老拉」了。

【拉格朗日定理】內容：若函數 $f(x)$ 滿足下列條件：

（1）在閉區間 $[a,b]$ 連續；

（2）在開區間 $(a,b)$ 內至少存在一點 $c$ ,使 $f^{}(c)=frac{f(a)-f(b)}{a-b}$ 成立。

定理證明書上都有，我也不再廢話了。到目前為止，和中定理有關的內容，小編就介紹完了，你以為要結束了嗎？那你就錯了，現在我們正式開始，前面這些乾貨就不多收錢了，哈哈哈~

【什麼是泰勒公式】泰勒公式是一個用冪函數在描另一個函數述其在某點附近取值的公式。簡單來說，泰勒公式不僅可以表示函數還可以給出了這個多項式和實際的函數值之間的偏差（當然也可以作估值運算）。

那接下里我只介紹一個泰勒展式，那就是美麗的 $e^{x}$ 小姐姐，當時我見到這個小姐姐的時候，她的身材是這個樣子的 $e^{x}=1+x+frac{x^{2}}{2!}+...+frac{x^{n}}{n!}+o(x^n)$ ,我當時，對吧！也是情竇初開的年齡，我就找她搭訕。我對 $e^{x}$ 小姐姐說：「你長得真漂亮！交個...」（話還沒說完），她卻對我冷冷地說了句：「謝謝，我知道！」然後轉身離開了，這明顯是懶得理我呀！我當時就，我就，我就也走了，有啥了不起的，哼~

生活一天天過去了，有一次我在書店門口再次遇到了這位之前沒理我的 $e^{x}$ ,但是，讓我吃驚的是她長相變了。這次我見她的時候，她長這個樣子： $e^{x}=1+x+frac{x^2}{2!}+...+frac{x^n}{n!}+frac{e^{x heta}}{(n+1)!}x^{n+1}(0< heta<1)$

這個時候，我朝她微笑了一下，問道：「你是之前那個 $e^{x}$ ?」

"是的"她朝我尷尬的笑了笑，又說道「之前不好意思哈~」

我說：「啊？！哦，沒事，我都忘了。再次見面很有緣，能交個朋友嗎？」,

「嗯嗯」， $e^{x}$ 笑著說，「當然可以了！」

【此處省略10000字】

後來我們彼此熟悉了，她告訴我，我們第一次見面的時候，那天她剛開始學化妝。我剛開始看到她，搭訕她的時候，我是第一個誇她的人，她以為我在嘲笑她呢，結果後來遇到很多說她長得漂亮的人，她才意識到是誤會我了，結果緣分讓我們再次相識。後來，她說，那天在書店見到她的時候，她沒化妝，但是我還是要求和她交朋友，她覺得我並不是壞人就和我做朋友了，但是我承認，她不化妝真的也很好看！

據她講述，她更喜歡不化妝的樣子，因為她說，這個樣子： $e^{x}=1+x+frac{x^2}{2!}+...+frac{x^n}{n!}+frac{e^{x heta}}{(n+1)!}x^{n+1}(0< heta<1)$

方便在有的時候進行估值運算。她還說，她化妝的時候別人喜歡喊她：帶著佩亞諾余項的麥克勞林公式，她說不喜歡這個名字，認為別人總是定性地看到了她的外貌；她喜歡不化妝的時候，人家叫她：帶著拉格朗日余項的麥克勞林公式，她說，這樣喊我的人，一般都和我比較親密，因為他們懂得定量分析我。說到這裡，我看著她的眼睛點了點頭，她也朝我笑了笑。

後來，她又告訴我，有的人和她的名字很相似，有叫帶著拉格朗日余項的泰勒展開公式的，還有叫帶著佩亞諾余項的泰勒展開公式的，她不喜歡他們，因為感覺他們的生活很複雜。

我聽到這裡，忍不住問她，你有什麼特長嗎？展示一下唄!

她開玩笑說：「我腿特長！」

「別鬧，快展示看看~」我有點不滿意的說，「我腿還特長呢！」

「好了好了，不逗你了」，她盯著我說，「你看你，開玩笑的啦~展示給你看看不就好了嘛」

她接著說：「我可以估計 $e$ 的值，使它的接近程度滿足任意精度！」

一聽這句話，我東北話都逼出來了：「你可拉倒吧~你擱這給我倆吹呢？你誤差不超過 $10^{-3}$ 就算你贏，行不？！」

她看著我質疑的樣子指著我說：「你說的哈~到時候不超過 $10^{-3}$ 的話，那你要請我吃東西哦！」

「那可不唄~你愛吃啥請你吃啥，行了不」，我還是一口東北味的說，「你可趕緊開始吧！」

這時候，只見：

令 $f(x)=e^x$ ,則 $f^{n+1}(x)=e^x$ ,由泰勒展開式得到： $e^{x}=1+x+frac{x^2}{2!}+...+frac{x^n}{n!}+frac{e^{x heta}}{(n+1)!}x^{n+1}(0< heta<1)$ ，

$R_{n}(1)=frac{e^ heta}{(n+1)!}<frac{3}{(n+1)!}$ (這個時候我意識到她喜歡帶著拉格朗日余項，是因為這讓她可以進行一步簡單的放縮來求出n，從而輕易地滿足精度的要求)，當 $n=6$ 時， $R_{6}(1)<frac{3}{7!}=frac{3}{5040}<10^{-3}$ ，

從而， $e$ 的近似值為： $1+1+frac{1}{2!}+frac{1}{3!}+frac{1}{4!}+frac{1}{5!}+frac{1}{6!}approx2.7181$ .

看完她展示了才藝，當時我就愣了。「你可以呀！」我真誠地誇到，「真不是吹的！厲害！」

「嘻嘻嘻~沒有什麼了」，她往耳後撩了撩頭髮說道，「別忘了請我吃東西就行！」

「哈哈哈哈~」我笑著說道，「放心吧！指定忘不了！你現在有時間嗎？」

「啊？！現在就去嗎？」她意外地問道，「我還不是很想吃東西誒~」。

「不是啦，你想吃想瘋了吧！」我白了她一眼繼續說道，「那什麼！就是，今天剛好有新電影上映，我這正好有兩張票，一起唄？！」

「切~我還以為是吃東西呢！」她好像很不滿意的說道，「原來是看電影啊~」。

「就知道吃，去不去嘛？」我看著她的眼睛說道，「不去就用這兩張票摺紙玩吧！」

「走啦，走啦，看完再折也不遲」，她和我一邊走還說道，「反正吃的東西不能免掉~」

我們相視一眼，彼此哈哈大笑起來。【劇終但文章沒結束】

e^x小姐姐

【小編有話說】有時候，一些知識，並非我們不會，而是當時，我沒能及時理解，然後，時光匆匆，我們沒能做好回顧與總結。每個人都是很優秀的，在你們最好的年華，應該會適當地把握時光，因為時光無情，還沒等我們讀完那捲詩書詞章，品完那盞細雨春茶，我們可能就會老去。時光這種東西，對於我們來說是有限的，是不可再生的，也是彌足珍貴的。生活就是這麼的現實，書到用時方恨少，可能你學的知識，現在不知道有何用處，但是當你真正用到的時候，你會發現，你的知識的儲存量是那麼的匱乏。我記得我的教授曾給我說過這樣一些話：「永遠要多學習，多讀書，多學習不是為了讓你把所有知識都學精，多讀書，也不是為了讓你把書上的內容都學會，而是說，等到有一天，你遇到了問題，你可以想到你曾經在哪學過，你曾經在哪本書上看過，這就足夠了，因為就算你不會也沒有關係，當你再找起來的時候就方便很多了，這叫做知識的拾撿，也叫作知識的二次學習，可是千萬不要做那麼一類人，等到遇到問題的時候不知所措，即便是給他提供了足夠的資源供他使用，他卻不知從何下手，那就太可悲了，再而言之，人生本身就是一個活到老學到老的過程，享受就好了！」

我用教授對我說的這些話與愛學習的你們共勉，但願我親愛的朋友，永遠可以保持一顆拼搏進取的心，加油！我依然是那個沒有錢約會，只能帶大家學習數學，擼知識，寫文章的小王老師，期待與你們下次再會！