金融工程自學筆記（2）：伊藤積分

09-15

金融工程自學筆記（2）：伊藤積分

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最近想自學一些金工的基礎，但可惜隨機過程的課中並沒有涵蓋Ito Calculus，在自學的過程中又發現了更大的坑（日常）。於是決定自（瞎）學（搞）。

本人水平極低，在學習和碼字過程中難免有誤，望指正，暢所欲言。

先修課程：數學分析，實變函數（實分析），概率論（推薦測度論版），隨機過程（了解最基礎的定義即可）。

2 Ito Calculus

先規定一些符號：在本章中， $W(t)$ 代表（標準）維納過程，適應於filtration(過濾/ $sigma$ 代數流) $mathcal{F_t}$ ， $L^2$ 是所有平方可積的隨機變數所組成的空間。

在上一章中討論了維納過程的一些特殊性質，這使得伊藤積分相對於Riemann積分也有不同，這些不同主要有二：

（1） Riemann積分在 $mathbb{R}$ 收斂，而伊藤積分在 $L^2$ 收斂。

（2）在Riemann積分中我們一般這樣逼近積分值：設 $f :[0, T] ightarrow mathbb{R}$ ，

$I_n(f)=sum_{i=0}^{n-1}f(s_i)(t_{i+1}-t_i)$ ,

其中 $0=t_0<t_1<cdots <t_n=T$ , $s_i$ 是 $[t_i, t_{i+1}]$ 中任意一點。

在數分中，當 $n ightarrow infty$ 時，函數的積分值（如果可積）並不依賴於 ${s_i}$ 的取值。但是在伊藤積分中，這個值

$I_n(f)=sum_{i=0}^{n-1}f(s_i)(W(t_{i+1})-W(t_i))$ ,

是會隨著 ${s_i}$ 的取值不同而變化的。（注意這裡是對 $W(t)$ 求積分了）

咱們舉一個最簡單的例子：就令 $f(t)=W(t)$ ，且 $0=t_0<t_1<cdots <t_n=T$ 平分 $[0, T]$ 成 $n$ 份，考慮下面這兩個 $L^2$ 收斂的值：

$S_1=lim_{n ightarrow infty} sum_{i=0}^{n-1}W(t_i)(W(t_{i+1})-W(t_i))$ ,

$S_2=lim_{n ightarrow infty} sum_{i=0}^{n-1}W(t_{i+1})(W(t_{i+1})-W(t_i))$ .

讀者可以用上一章的結論，以及恆等式 $a(b-a)=frac{1}{2}(b^2-a^2)-frac{1}{2}(b-a)^2$ 自行嘗試計算一下，不難得到：

$S_1=frac{1}{2}W(T)^2-frac{1}{2}T$ ,

$S_2=frac{1}{2}W(T)^2+frac{1}{2}T$ .

所以，在我們定義伊藤積分時，必須人為規定劃分下的取點，不能亂來。伊藤積分規定在 $[t_i, t_{i+1}]$ 中取 $s_i=t_i$ ，也就是取每一小段的左側。這看上去是個比較隨意地定義，但它也有一定的數學含義： $W(s_i)$ 是適應於 $mathcal{F_{t_i}}$ 的。（不過我暫時還是覺得這個定義只是一個約定俗成的東西）

2.1 Definition

接下來我們開始從簡單情形定義伊藤積分，這個過程與實分析/實變函數中的許多證明的思想類似：先做一個簡單的，對於一般情形的嘗試用簡單情形的來逼近。（公式中的1是示性函數）

We shall call $f(t), tgeq 0$ a random step process if there is a finite sequence of numbers $0=t_0<t_1<cdots <t_n$ and square integrable random variables $eta_0, cdots eta_{n-1}$ such that

$f(t)=sum_{i=0}^{n-1} eta_i 1_{[t_i, t_{i+1})}(t)$ ,

where $eta_i$ is $mathcal{F_{t_j}}$ -measurable for $i=0,1,cdots, n-1$ . The set of random step processes will be denoted by $M_{step}^2$ .

從上面的定義可以推出 $f(t)$ 的一些性質： $f(t)$ 是適應於filtration(過濾/ $sigma$ 代數流) $mathcal{F_t}$ 的，同時也是對任意的 $t$ 平方可積（都是根據 $eta_i$ 的性質可以直接推得）。與此同時， $M_{step}^2$ 的元素經過線性組合後仍在該集合中。

The stochastic integral of a random step process $fin M_{step}^2$ is defined by:

$I(f)=lim_{n ightarrow infty} sum_{i=0}^{n-1}eta_i (W(t_{i+1})-W(t_i))$

這個定義和之前【伊藤積分規定在 $[t_i, t_{i+1}]$ 中取 $s_i=t_i$ 】的敘述是一致的（當然對於random step process而言，只要不取 $s_i=t_{i+1}$ 就沒問題）。不過我們更關心這個 $I(f)$ 的性質：

上文定義的 $I(f)$ 平方可積，且：

$E(left | I(f) ight |^2) = E(int_{0}^{infty}left | f(t) ight |^2 dt)$

這個等式也叫Ito isometry，證明不難，把左右都打開就行了，大家可以自己試試，注意用Wiener process的若干性質。證出來左側和右側相等，都為 $sum_{i=0}^{n-1}{E(eta_i^2)Delta_it}$ ，其中 $Delta_it=t_{i+1}-t_i$ 。

跟上面的證明類似，我們還能得到：

For any random step processes $f,g in M_{step}^2$ ,

$E(I(f)I(g)) = E(int_{0}^{infty}f(t)g(t) dt)$

同時不難發現上文定義的函數 $I$ 是一個linear map（線性映射），即：

for any $f,g in M_{step}^2$ and any $a,b in mathbb{R}$ ,

$I(af+bg)=aI(f)+bI(g)$ .

2.2 General Case

簡單情形下的 $I(f)$ 就定義到這裡。下面來研究如何將 $I$ 拓展到更一般的情形：我們採用逼近的方法。

We denote by $M^2$ the class of stochastic process $f(t), t geq 0$ such that

$E(int_0^infty left |f(t) ight | ^2dt)<infty$ ,

and there is a sequence $f_1,f_2,cdots in M_{step}^2$ of random step processes such that

$lim_{n ightarrow infty}E(int_0^infty left |f(t) -f_n(t) ight | ^2dt)=0$ .

說白了就是 $f_1,f_2, cdots$ 在 $L^2$ 下收斂到 $f$ 。

我們在這個框架下定義 $I(f)$ :

We call $I(f) in L^2$ the Ito stochastic integral (from 0 to $infty$ ) of $f in M^2$ if

$lim_{n ightarrow infty}E(int_0^infty left |I(f) -I(f_n) ight | ^2dt)=0$

其中 $f, f_1, f_2, cdots$ 滿足上一個定義。我們此時也將 $I(f)$ 寫作 $int_0^infty f(t)dW(t)$ 。

這裡可以看到 $I(f)$ 的定義並沒有具體給出 $I(f)$ 是怎麼算的，哪怕湊出來一個 $I(f)$ ，滿足 $lim_{n ightarrow infty}E(int_0^infty left |I(f) -I(f_n) ight | ^2dt)=0$ ，就行了。

不過下面這條proposition證明了這個 $I(f)$ 是存在且唯一的，並且有：

For any $f in M^2$ the stochastic integral $I(f) in L^2$ exists, is unique (as an element of $L^2$ , i.e. to within equality a.s.) and satisfies

$E(left | I(f) ight |^2) = E(int_0^infty left | f(t) ight |^2 dt)$

這是隨機積分中的一個核心結論，叫It? isometry。可惜本人水平不行，沒有完全看懂general case下的證明。

2.3 Examples

看不懂證明問題不大，畢竟如果不搞純數的話，計算才是核心。下面我們就來算一下試試：

Problem 1: $int_0^TW(t)dW(t)$

如果大家記性好的話，這個式子在開頭是粗略地算過的，答案是 $frac{1}{2}W(T)^2-frac{1}{2}T$ 。但那個時候的計算不夠嚴格，下面給一個嚴格的計算：

首先為了和上面的 $[0,infty)$ 定義域一致，我們先定義 $f(t)=1_{[0,T)}(t)W(t)$ ，此時 $int_0^TW(t)dW(t)=int_0^infty f(t)dW(t)$ ，就可以用之前的結論了。

下面我們想要找到一列漸進到 $f(t)$ 的random step processes $f_1,f_2, cdots$ ，這裡有一個通用的方法：

令 $0=t_0^n < t_1^n < cdots < t_n^n=T$ ，且 $t_i^n=frac{iT}{n}$ ，即 ${t_i^n}$ 平分這一段區間。我們令 $f_n(t)=sum_{i=0}^{n-1}W(t_i^n)1_{[t_i^n, t_{i+1}^n)}$

於是 $f_1,f_2, cdots in M_{step}^2$ ，且 $lim_{n ightarrow infty}E(int_0^infty left |f(t) -f_n(t) ight | ^2dt)=0$ （打開即得），即收斂性得證。

最後只要算一下 $I(f_n)$ ，再讓 $n o infty$ ，即得答案。

Problem 2: $int_0^T tdW(t)=TW(T)-int_0^TW(t)dt$

這個式子一看不就是Riemann積分的公式嘛。。但有一點要注意：最後一項 $int_0^TW(t)dt$ 叫做Riemann integral defined pathwise，我也不是很懂，歡迎交流。

但是想算的話還是可以算的，跟第一題一樣的思路，用 $n$ 等分構造 $f_n$ ，中間需要恆等式 $c(b-a) = db-ca-b(d-c)$ 來變形，有點複雜。

Problem 3: $int_0^T W(t)^2dW(t)=frac{1}{3}W(T)^3-int_0^TW(t)dt$

這個就更複雜了，雖然思路也是一模一樣，但需要用恆等式 $a^2(b-a)=frac{1}{3}(b^3-a^3)-a(b-a)^2-frac{1}{3}(b-a)^3$ 以及 $(a^2-b^2)^2=(a-b)^4+4(a-b)^3b+4(a-b)^2b^2$ 。

其實如果讀者動手試一下會發現上面的恆等式都是湊好的。。核心還是不斷地用Cauchys inequality, Jensens inequality和降階。

這一篇也只能算是理論基礎，下一篇（如果不鴿的話）會有Ito Formula以及BS公式。