傅里葉變換後面的到底有什麼小秘密

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大家有沒有想過一個問題，為什麼全世界都把自己的紙幣面額設成1、2和5這三個數字？

這麼選擇是一種偶然還是必然？背後有什麼秘密嗎？其實答案沒有什麼太高深的，就是「簡便」而已。因為人類經過多年的進化，形成了一種不可或缺的生存能力，那就是盡量將複雜的分解為簡單的問題，比如：人們就發現雖然事物的價格千千萬，我們總是可以用幾種簡單的數字疊加起來。而1、2和5這三個數字恰恰是10進位制裡面最簡便的組合。

為了「簡單」而進行「分解」，為了更好的「分解」，人類又發明了「正交」的概念。何謂正交呢，它其實脫胎於「垂直」而又有更豐富的內涵。我們知道在垂直坐標系中，三個坐標軸的相互垂直的，這樣的好處是各個軸向之間是獨立的，互不干擾的。當然，這些描述都是定性的，對於嚴謹的數學家和工程師而言，這是不可接受的。於是，又有一個新的概念引入了:「內積」，當內積為零的時候，兩個量就是正交的。

整理一下我們的思路：我們想要「簡單」，要進行「分解」，想要更好的「分解」，要進行「正交化」，想要定量描述「正交化」，規定「內積」為零為「正交」。總的邏輯是這樣的：簡單→分解→正交→內積。

說了這麼多，這和傅里葉分析有什麼關係？現在我要告訴大家：傅里葉分析就是進行「正交分解」，不理解細節沒關係，領會到了這個概念，就理解一半了。為了嚴謹（實際上很不嚴謹^_^），我們需要將邏輯關係反過來，先從內積說起。

在三維直角坐標系裡面，任何一個坐標軸的方向上長度為 的向量稱之為一個基，相互垂直的基稱之為正交基： 代表 軸的基， 代表 軸的基，代表 軸的基。假設 , ，

規定內積為：

一個很簡單的結論： ,說明任意兩個基確實是正交的。 ，說明向量與自己的內積是一個常數。那如何表示任意一個向量呢？比如在線性代數裡面，我們是這麼做的：

（1）

（2）

（3）

於是， ，相信得出以下結論是很容易的：內積相當於一種「投影」操作，任意向量與基之間的內積就是該向量在基所在方向的投影，內積的結果就是係數。

前面我們說的「基」都是常數，這是很容易理解的，我們生活在三維的世界裡，我們教材裡面從初中就開始介紹這些東西，再熟悉不過了。下面我們要對上面的討論稍微進行擴展，大家會看到將會有哪些有意思的事情發生。

假如基不再是一個向量，而是一個函數，會有什麼結果？比如我們如果假設 是兩個函數，並且規定內積定義為： ，（其中 表示共軛的意思，是為了在複數域中計算方便而引入的）。我之前寫的帖子自然常數「e」，工程中的自然數「1」以及被眾人膜拜的歐拉恆等式是個什麼東東？ 介紹了自然常數 以及復指數 神奇特性。我們不妨將 代入 ,看看會出現什麼。假設 ， ，則 的內積為：

當 時，細心的同學可能注意到，這個積分是無窮大，這個沒關係，在廣義函數裡面這是允許的，為了不影響我們的閱讀體驗，暫不細說，我們用一個符合來表示這個積分的結果： 。

當 時，上面的積分等於多少呢？在被眾人膜拜的歐拉恆等式是個什麼東東 裡面，我們介紹了 本質上是一個運動的單位圓。

x=linspace(0,2*pi,50);%0到2pi之間均勻布置50個點；n=5000;%此處可將n設成20,50，500或其他e_ix=(1+x*1i./n).^n;compass(e_ix);figure;polarplot(e_ix);

若 ， 就是一個繞原點旋轉的單位圓啊，由於對稱性，我們可以很容易得到： ，等等，內積等於零？這說明什麼？這說明正交啊，這說明 在這種內積的定義下是一族正交基啊，更高深說數學可以證明，在一定條件下，它不僅是正交的，還是完備的，也就是說，只要滿足一定的條件，任何函數都可以用 疊加出來。

（4）

這個式子的含義為：任意函數（ ）都可以由完的正交基 疊加而成，每個正交基對應的係數為 。（ 的引入是為了計算方便，傅里葉變換有多種形式，也有不帶 ，這裡採用了最通用的形式）。

根據公式（1、2、3），係數 可以由內積計算而來：

（5）

因此，傅里葉變換的本質可以看成是正交分解： 和 求內積的時候， 中只有頻率為 的分量才會有內積的結果，其餘分量的內積為0，積分值是時間從負無窮到正無窮，可以看成是 整個信號在 上的投影，只要給定一個頻率 ，都會對應一個係數 來。

公式（5）稱之為傅里葉變換，公式(4)稱之為傅里葉逆變換。

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