學習數學建模的第一本書

來自專欄孜然星球9 人贊了文章

這本書中講得最好的是差分方程和微分方程部分的內容，可謂明心見性，直指人心，遠勝過國內本科教學時生硬的高數教材。

我將各章節內容進行了整理歸納，供大家參考：

對於一個離散系統，如果有穩定的函數關係存在：變化值=f(上一次的值,外來值），則可以採用初值+動力方程（遞推公式）建模。通過數值方法，獲得系統的變化趨勢，通過觀察趨勢，獲得拐點和平衡點，通過改變其中的一些變數或初始條件，獲得系統對該變數及初始條件的敏感度及相關規律。（1/12 數學建模）。

1)「提出合理的假設」本質上是在說「除去不必要的變數，從而將問題簡化」。2)比例性是一種常用的簡化手段，a和b具有比例性，則可以把a變成kb，k為常數，那麼就只剩下b這一個變數了。3)比例具有傳遞性，a和b呈比例，b和c呈比例，則a和c程比例，又進一步減少了變數。4)最為常見的是比例現象是「幾何相似性」。（2/12 數學建模）

模型擬合的三種常見原則：1)最大單點偏差極小化2)偏差和極小化 3)偏差平方和極小化（最小二乘法）。使用最廣泛的擬合方法是最小二乘法，原理：先求出平方和的數學表達式，由於取得極值的必要條件是參數的偏導為0，所以據此列出方程求出參數。某些情況下，可以先對x，y作對數變換，以獲得線性關係。（3/12 數學建模）

1)可根據數據曲線的形狀（增減、凹凸）來選擇擬合時xy的階次（對於凹增，可選logy或x^2，對於凸增，可選y^3或logx，遞減的函數可以加負號），具體作法是把原始數據表格內的x和y進行變形，然後重新繪製曲線和用最小二乘法擬合。2)給定n+1個不同數據點，則存在唯一的最高階次n的多項式通過這些點，但是多項式擬合的一個缺點是在邊端處極易擺動。3)可利用多階均差表來選擇用於擬合的多項式階次，比如原始數據的二階均差為常數，三階均差為0，則該數據適合用二階多項式擬合。4)樣條法類似於用曲線板做圖，有線性樣條和三次樣條，每兩個點之間可構建一個樣條函數，根據邊界條件和曲率連續性可求解各樣條函數的參數。（4/12 數學建模）

如何求出曲線與坐標軸所圍的面積？除了微積分之外，還有一種腦洞大開的方法：用一個正方形將曲線所圍的區域包裹起來，然後往裡面隨機丟石子，計算落在曲線所圍區域的概率，然後用總面積乘以概率，數量越大則越接近真實面積。這個方法在數學上叫做「蒙特卡羅模擬」，它的優點是不用得到確切的函數表達式，只需藉助計算機生成隨機數，就能夠對一個隨機系統建立非常直觀的模型。再舉個例子，假設一個變數x在不同區間[ai,bi]的概率qi-pi是已知的（現實生活中可通過統計方法獲得），那麼，只要我們在0-1之間生成隨機數r，則該隨機數r落在在[pi,qi]之間的概率就是qi-pi，再根據ai,bi,pi,qi的樣條函數，即可求得r所對應的變數x，後面再根據這個自變數x計算出其他的y，z即可。整個過程下來，你就會發現，你完全不必搞懂影響x的因素是什麼，直接簡單粗暴地去模擬這種隨機性就可以了。（5/12 數學建模）

1)原始數據和擬合數據的殘差分布如果具有明顯的模式，那說模型還不恰當，可以進一步修改。2)SSR/SST即為回歸直線的擬合程度，其中SSR為預測值與平均值的方差和，SST為原始值與平均值的方差和。（6/12 數學建模）

如果一個線性規劃存在一個最優解，那一定在約束形成的凸集的某個交點上，可以求出所有點的函數值再選出最優。當模型的某個係數發生變化時，最優解是否也會發生變化？如果發生不發生變化，那麼是在什麼範圍內不發生變化；如果發生變化，趨勢是怎樣的，係數變化一個單位，最優解變化多少個單位？ （7/12 數學建模）

1)如果烤熟1kg火雞肉需要20min，那麼烤熟3kg火雞肉呢？要回答這個問題，可以藉助量綱分析的方法，將烤火雞問題的變數限定為長度l，熱傳導率k，初始溫度Tm，內部溫度Tc。經過推導可知，烤火雞時間和長度的平方成正比，也即和重量的三分之二次方成正比，所以就能通過烤1kg的時間推得烤3kg的時間。這就是量綱分析的強大之處：a)可以通過配平量綱方程，獲得變數冪次形式的比例關係，從而對某些問題進行估算b)通過量綱分析，得到最本質的變數，然後只對本質變數進行試驗，獲得經驗模型。總之，大大降低了試驗成本。2)在描述三維物體時，除了xyz三個長度之外，還可以是一個特徵尺度加兩個形狀因子（比例項），這是另一種三維。3)利用小比例模型還原大模型的物理規律時，需要保持所有獨立的無量綱乘積相同，通常是一些理論係數，比如流體問題中的雷諾數。（8/12 數學建模）

使用圖表：1）反映函數的增減趨勢 2）反映凹凸性 3）反映某個參數變化時曲線如何移動 4）從某個地方出發，函數趨於哪個平衡點 5）在競爭模型中反映勝負情況。對於曲線的變化，要結合相關學科原理來進行闡述。（9/12 數學建模）

關於x的微分方程dx/dt=kx+b，變化率dx/dt是函數，k反應了變化率隨著x線性變化，b表示一個固定的變化率，這個方程構建了一個動力系統，用這種視角看問題時會變得異常清晰。另外，用數值方法求解微分方程時，常用歐拉法，簡單點說，就是給定初始值，給定一個極小的步長dt，根據方程求出斜率，再用一段段的切線來逼近原方程。（10/12 數學建模）

使用微分方程組建模，一般都會有兩個以上的相互影響的連續變數，可根據方程組求出「靜止點」，再直接由微分方程組進行草圖繪製，從而獲得變數的變化規律及其特徵屬性（例如競爭何時達到平衡），另外，微分方程組也可利用歐拉法進行數值求解。（11/12 數學建模）

對於連續優化建模問題：1）小規模的整數規劃可以採用蒙特卡洛法進行求解，說白了就是可以一個個試出來。2）由於可微方程的梯度向量總是指向函數值增長率最大的方向，可藉助此特性，選定一個初始位置，選定步長，按照梯度方向進行搜索。3）等式約束的問題，最常用的求解方法是拉格朗日乘子法。（12/12 數學建模）

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