汪曉勤：《HPM: 數學史與數學教育》的撰寫初衷

09-27

一

門科學的歷史就是這門科學本身。

——歌德

早在19世紀，數學史與數學教育之間的關係已經受到歐美數學家和數學教育家們的關注。1972年，在第二屆國際數學教育大會上，成立了數學史與數學教學關係國際研究小組（簡稱HPM），自此，數學史與數學教育之間的關係成了數學教育的重要學術領域之一，我們通常也用HPM來指代該學術領域本身。四十餘年間，世界各地的HPM領域做了豐富多彩的研究工作，圖1是對這些工作的分類。

圖1 HPM領域的研究工作分類

在我國，老一輩數學史家錢寶琮已經關注到數學史對於中學數學教育的意義，強調數學史研究要為中學數學教學服務。2005年，第一屆全國數學史與數學教育學術研討會在西北大學召開，HPM開始受到中國大陸學術界的關注。國內HPM方面的文獻很多，但大多局限於對「為何」的討論，將數學史融入教學的實踐研究卻並不多見，更缺乏一部系統探討數學史與數學教育關係、對HPM領域的文獻研究和實證研究具有指導性的高水平學術著作。另一方面，很多師範院校都開設數學史選修課，但這門課與數學教育的融合度普遍較低，未能達到應有的教學效果。

《HPM: 數學史與數學教育》一書的撰寫初衷：

一、試圖確立數學史與數學教育之間的關係作為一個學術領域的內容框架，為未來更多的相關研究建立理論基礎；

二、為中學數學教師在教學中運用數學史提供素材、案例和理論指導，從而提升HPM的實踐價值，加強HPM與中學數學教育之間的聯繫；

三、為在數學教學中落實「立德樹人」的任務、實施數學學科德育提供一條途徑；

四、為中學數學教師專業發展提供一種思路；

五、為職前和在職教師教育課程「數學史與數學教育」的教材建設打下基礎。

圖2給出了全書的框架及其與HPM領域研究課題之間的對應關係。

圖2

《HPM: 數學史與數學教育》結構

框架

以下我們給出各章的內容簡介。

第1章源流與背景

本章追溯了HPM的歷史源流，考察了西方學者對「為什麼要將數學史融入數學教學」所作的討論，系統闡明了HPM的學術價值和對數學教學的現實意義，呈現了一線教師對於數學史教育價值的認識和他們在實踐中的困惑。這裡，我們將從卡約黎、史密斯、瓊斯、薩頓、F. 克萊因、波利亞、弗賴登塔爾、M. 克萊因、福韋爾等名家的學術思想中獲得心靈的啟迪；我們也能從職前和在職數學教師的期望中感悟到HPM研究選擇「自下而上」路徑的必要性。

圖3

卡約黎的數學課堂

第2章情感與信念

本章從「歷史上的數學故事」、「情境中的數學概念」、「文化中的數學主題」和「課堂上的另類素材」四個方面，挖掘典型的歷史和文化素材，揭示數學史在數學教學的情感、態度、價值觀目標上所能起到的重要作用。這裡，我們將欣賞到中學數學主題背後精彩的數學故事和歷史情境，感悟到數學與生活、工程、文學、建築、藝術等的密切聯繫；我們也從數學家在創造過程中犯錯的歷史事實中感悟到數學活動的本質。課堂上還數學一個本來面目，可以培育學生積極的情感、態度和價值觀。

圖4

義大利蒙特城堡

第3章概念與思想

作為教育取向的數學史研究，本章基於歷史文獻和研究文獻，對負數、無理數、函數、三角函數、斜率等概念的起源作了探討，對對數、元、奇函數、偶函數等數學術語的來歷作了考證，對字母表示數、解析幾何等數學思想的歷史過程作了梳理，對同底數冪運演算法則、解方程組的克拉默（又譯克萊姆）法則、兩點之間距離公式、向量的加法法則等的發現作了考察。數學史豐富和完善了中學數學教師的專門內容知識、內容與教學知識、內容與學生知識以及內容與課程知識，可以幫助教師回答教學中的各種各樣的疑難問題。

圖5

斯內爾（W. Snell, 1591-1626）《三角學》中的三角函數定義

第4章公式與定理

上下數千年，數學的歷史積澱了先哲們的思想精華；數學的歷史是一座寶藏，其中蘊含了取之不盡、用之不竭的教學資源。作為教育取向的數學史研究，本章基於歷史文獻和研究文獻，對歷史上圓面積公式、一元二次方程求根公式、等比數列求和公式、和角公式、三角形內角和定理、均值不等式、橢圓方程、正弦定理、餘弦定理等公式或定理的推導或證明進行了深入的考察。面對數學歷史這座寶藏，我們難免發出「太陽底下無新事」的感嘆；深入這座寶藏，教師的專門內容知識、內容與教學知識以及內容與課程知識將得到豐富和完善。

圖6

克萊羅《幾何基礎》中的三角形內角和定理

第5章問題與求解

倘若歷史是滄海，我們所知便只是其中之一粟；倘若歷史是天空，我們所見便只是其中之一角。數學史為我們提供了豐富多彩的問題及其解法。本章呈現了東西方數學歷史文獻中的一元一次方程、一元二次方程、勾股定理、等差數列、等比數列、分式方程、無理方程、因式分解等主題上的問題與解法，並將源於古代兩河流域的「和差術」運用於今日高考數學問題的求解。基於數學史的問題提出和問題解決，必將成為未來HPM研究的重要課題。

圖7

歐拉《代數基礎》（1774）

圖8

拉克洛瓦《代數基礎》（1812）

第6章附加與融合

本章提出教科書中的數學史的運用方法分類框架，據此對法國Belin版數學教科書進行了分析。接著，將研究對象擴展至歷史上的教科書，對20世紀20年代的一部三角學教科書中的數學史料進行了剖析。最後，以建築為例，考察了美國早期若干幾何教科書中的數學文化，從中透視20世紀初培利運動背景下的美國幾何課程理念，為今日教科書編寫提供借鑒。

圖9

中世紀義大利教堂的鏤花窗

第7章歷史與現實

本章介紹關於HPM重要理論基礎——發生原理/歷史相似性的實證研究案例，涉及字母表示數、負數序關係、角的概念、古典概率、函數概念、複數概念、無窮級數、實無窮、切線等主題。這些案例告訴我們，如果今日學生對某個數學主題的理解存在歷史相似性，那麼，數學歷史就成了數學教學的一面鏡子，間接為數學教師提供了「內容與學生知識」、「內容與教學知識」，正如M. 克萊因所說：「歷史是教學的指南」。

圖10

布蘭福德《數學教育研究》中扉頁：個體數學學習與人類數學發展的對照

第8章實踐與開發

本章通過9個HPM教學案例，探討數學史融入數學教學的具體方法，展示HPM教學設計、實施、評價的過程，它們分別是：一次方程組、平方差公式、分數指數冪、內角和定理、對數的概念、複數的引入、稜柱的定義、橢圓的定義、導數的應用。這些案例大多是HPM實踐共同體共同研討的成果，雖然不盡完善，但取得了較為理想的實踐效果；同時，為未來更多教學案例的開發提供了範例。HPM視角下的數學教學實踐與案例開發，無論現在還是將來，都是HPM領域的重要研究方向之一。

圖11

圓柱內的旦德林雙球

第9章行動與成長

本章以兩位中學數學教師A和B為研究對象，探討HPM教學實踐在促進教師專業發展方面的有效性。A和B在進入HPM領域之前，都已經有了較為豐富的數學教學經驗。在專業發展的瓶頸期，他們邂逅HPM，喜愛HPM，實踐HPM，HPM成了他們專業發展的助推器。

圖12

數學史與數學教師的MKT

從本書中，讀者可以深切感受到，HPM是一個富有魅力、前景廣闊、特色鮮明、價值巨大的學術領域。在本書的封面上，有三幅幾何圖形被置於時空隧道之中：圓柱內的旦德林雙球模型、建築中的拱券及其內切圓窗、開普勒求圓面積的方法。時空隧道中的三幅圖代表著本書作者的理想和夢想：在歷史與現實、數學與人文之間各架起美麗的橋樑，在數學教育研究的道路上無怨無悔，不斷前行，直達理想的彼岸。

且讓我們攜手走進HPM的美麗世界，秉承「領悟、勤奮、協作、高效、包容」的精神，不斷學習、不斷耕耘、不斷豐富和完善HPM的內涵，一起開創數學教育美好的明天。