集合的上界與上確界及上確界的性質

來自專欄微積分

集合 的上界與上確界：

設 是實數集的一個非空子集，如果存在 ，使得對所有的 ，都有 ，則稱 是集合 的一個上界。顯然，如果 是集合 的一個上界，則 ， 等也是集合 的上界，即如果集合 的有一個上界，則集合 有無窮多個上界，並且不存在最大的上界，但是是否存在最小的下界呢？

設集合 的有上界，如果所有上界中有一個最小的數，則稱這個最小的上界為集合 的上確界，記為 。

定理：如果非空集合 的有上界，則必有上確界。

集合 的最大值：

設 是實數集的一個非空子集，如果存在 ，使得對所有的 ，都有 ，則稱 是集合 的最大值，記為 。

例子：（注意區分集合的上確界與最大值）

1. 集合 區間 ,則
2. 集合 區間 ,則 不存在

證明上確界的方法：

的充分必要條件是：

1. 是集合 的一個上界，即去證明 ，都有 ;
2. 是最小的上界，即去證明 ，存在 ，使得 （或者更一般的形式 ，其中 ）。
   注意：這邊的 ，可以根據具體題目再加以限制，比如可以要求 ，或者 ，第二步的關鍵是由給定 ，去找到 。

例子：

1. 設 證明 。

   證明：第一步： ，都有 ，從而 ;

   第二步： ，且 ，可以取 ，則可以證明 ，即 ，並且有 。
   由以上兩步可知: 。
2. 設 均是非空有上界數集，定義： ，證明： 。
   證明：因為 均是非空有上界數集，故 與 都是有意義的，下面證明 是集合 的上確界。
   第一步： ，不妨設 ，則有 ，從而 ，

   第二步： ， ，使得 ，故 ，並且 。

   由以上兩步可知: 。

另外，關於集合的下界，下確界，最小值的相關定義及其性質證明，大家自行補充。