（一）流形上的張量場

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（一）流形上的張量場

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按一般的微分幾何教程來看，這些筆記本來不應該直接寫流形上的張量場，而應該從線性空間、對偶空間、拓撲空間等內容開始，再說明流形是怎樣的拓撲空間，其上具有如此這般的結構。筆者對這些內容不能描述得很好，索性直接從筆者當時思考了很久才弄懂的地方談起，想必這也是很多初學者的困惑之處，希望這一系列文字能夠給予初學者一定的幫助。筆者不是數學系的學生，有些細節在筆者看來是「很物理」的，沒有用公理化的語言描述，所以希望各位看客能在評論中指點。

下面是正文。

$n$ 維流形 $M$ 有局部坐標卡 $(U_ 1, varphi_ 1)$ 及 $(U_ 2, varphi_ 2)$ ，且 $U_ 1cap U_ 2 e?$

選定 $(x^1, cdotcdotcdot, x^n)$ 及 $(x^1, cdotcdotcdot, x^n)$ 作為 $varphi_ 1 (U_ 1)$ 及 $varphi_ 2 (U_ 2)$ 在 $R^ n$ 中的坐標。

在 $varphi_ 1 (U_ 1)capvarphi_ 2 (U_ 2)$ 中存在從 $varphi_ 2 (U_ 2)$ 到 $varphi_ 1 (U_ 1)$ 的坐標變換 $psi : R^n ightarrow R^n$ , 即:

$psi (x^1, cdotcdotcdot, x^n)= (x^1, cdotcdotcdot, x^n)$

這是個矢量函數，其等價於 $n$ 個 $n$ 元函數：

$x^1 (x^1, cdotcdotcdot, x^n)$

$cdotcdotcdot$

$x^n (x^1, cdotcdotcdot, x^n)$

簡寫為 $x^j (x^i), i = 1, cdotcdotcdot, n; j = 1, cdotcdotcdot, n$

根據隱函數存在定理，若此坐標變換的Jacobian在 $varphi_ 1 (U_ 1)capvarphi_ 2 (U_ 2)$ 中處處不為零，則必存在 $x^i (x^j)$ 作為 $x^ j (x^i)$ 的逆變換，也即從 $varphi_ 1 (U_ 1)$ 到 $varphi_ 2 (U_ 2)$ 的坐標變換 $psi ^{-1}$ 。

在 $(U_ 1, varphi_ 1)$ 下有兩種基底 $(frac {partial}{partial x^i}) = (frac {partial} {partial x^1}, cdotcdotcdot, frac {partial} {partial x^n})$ 及 $(dx^i) = (dx^1, cdotcdotcdot, dx^n)$

，前者張成的空間稱為切空間，後者張成的空間稱為餘切空間，並稱 $frac {partial}{partial x^i}$ 與 $dx^j$ 互為對偶（ $V$ 與 $V^{astast}$ 同構） $dx^j(frac {partial}{partial x^i}):={delta^j}_i$

其中 $delta_{ij}$ 的定義為 $delta_{ij}=egin{cases}1&i=j\0&i e jend{cases}$ ，稱為Kronecker symbol。

同樣的，在 $(U_ 2, varphi_ 2)$ 下也有兩種基底 $(frac {partial} {partial x^ i}) = (frac {partial} {partial x^1}, cdotcdotcdot, frac {partial} {partial x^n})$ 及 $(dx^i) = (dx^1, cdotcdotcdot, dx^n)$ ，可見基底是與坐標系相關的。

下面進入正題，公式將採用愛因斯坦求和約定，並默認坐標變換具有一定的光滑性條件。

考慮 $U_ 1cap U_ 2$ 上（性質比較好）的函數空間 $mathcal {F} _M$ , 任選參數 $t∈R$ , 運算元 $frac {d} {dt}$ 構成這樣一個映射，即：

$frac {d} {dt} : mathcal {F} _M ightarrowmathcal {F} _M$

可見 $frac {d} {dt}$ 是與坐標系無關的（這個地方在教材中描述為取流形上某條曲線的參數，並取這個參數的微分運算元）。

藉助 $(U_ 1, varphi_ 1)$ ，可將 $frac {d} {dt}$ 按下列方式展開：

$frac {d} {dt} = frac {dx^{i}} {dt}frac {partial} {partial x^{i}} = v^ipartial_{i}$

其中 $v^ i = frac {dx^{i}} {dt}$ , $partial_iequivfrac {partial} {partial x^i}$

來看看 $v^i$ 和 $partial_i$ 在坐標變換下是怎麼變的：

$v^i = frac {dx^i} {dt} = frac {partial x^i} {partial x^j}frac {dx^j} {dt} = frac {partial x^i} {partial x^j} v^j$

其中 $v^j = frac {dx^j} {dt}$

$partial_i = frac {partial} {partial x^ i} = frac {partial x^ j} {partial x^i}frac {partial} {partial x^ j} = frac {partial x^ j} {partial x^ i}partial_j$

其中 $partial_jequiv frac {partial} {partial x^ j}$

這維持了 $frac {d} {dt}$ 的不變性：

$frac {d} {dt} =v^ipartial_i=v^jpartial_j$

將所有像 $v^i$ 這樣變換的量叫逆變的，所有像 $partial_i$ 這樣變換的量叫協變的。

於是，可以立即得到，餘切基底滿足逆變的條件：

$dx^i = frac {partial x^i} {partial x^j} dx^j$

藉助切空間基底與餘切空間基底，任意一個 $(p, q)$ 型張量 $T$ 可以在 $(U_ 1, varphi_ 1)$ 中寫成：

$T = {T}^{alpha_ 1cdotcdotcdotalpha_p} _ {eta_1cdotcdotcdoteta_q}partial_ {alpha_ 1}otimescdotcdotcdototimespartial_ {alpha_p}otimes dx^{eta_ 1}otimescdotcdotcdototimes dx^{eta_q}$

進行坐標變換時有：

${T}^{alpha_ 1cdotcdotcdotalpha_p} _ {eta_ 1cdotcdotcdoteta_q}partial_ {alpha_ 1}otimescdotcdotcdototimespartial_ {alpha_p}otimes dx^{eta_ 1}otimescdotcdotcdototimes dx^{eta_q}$

$= T^{alpha_ 1cdotcdotcdotalpha_p} _ {eta_ 1cdotcdotcdoteta_q}frac {partial x^{mu_ 1}} {partial x^{alpha_ 1}}partial _ {mu_ 1}otimescdotcdotcdototimesfrac {partial x^{mu_p}} {partial x^{alpha_p}}partial _ {mu_p}otimesfrac {partial x^{eta_ 1}} {partial x^{ u_ 1}} dx^{ u_ 1}otimescdotcdotcdototimesfrac {partial x^{eta_q}} {partial x^{ u_q}} dx^{ u_q}$

$= {T}^{alpha_ 1cdotcdotcdotalpha_p} _ {eta_ 1cdotcdotcdoteta_q}frac {partial x^{mu_ 1}} {partial x^{alpha_ 1}}cdotcdotcdotfrac {partial x^{mu_p}} {partial x^{ alpha_p}}frac {partial x^{eta_ 1}} {partial x^{ u_ 1}}cdotcdotcdotfrac {partial x^{eta_q}} {partial x^{ u_q}}partial_ {mu_ 1}otimescdotcdotcdototimespartial_ {mu_p}otimes dx^{ u_ 1}otimescdotcdotcdototimes dx^{ u_q}$

$={T}^{mu_ 1cdotcdotcdotmu_p} _ { u_ 1cdotcdotcdot u_q} partial_ {mu_ 1}otimescdotcdotcdototimespartial_ {mu_p}otimes dx^{ u_ 1}otimescdotcdotcdototimes dx^{ u_q}$

其中 ${T}^{mu_ 1cdotcdotcdotmu_p} _ { u_ 1cdotcdotcdot u_q} = {T}^{alpha_ 1cdotcdotcdotalpha_p} _ {eta_ 1cdotcdotcdoteta_q}frac {partial x^{mu_ 1}} {partial x^{alpha_ 1}}cdotcdotcdotfrac {partial x^{mu_p}} {partial x^{ alpha_p}}frac {partial x^{eta_ 1}} {partial x^{ u_ 1}}cdotcdotcdotfrac {partial x^{eta_q}} {partial x^{ u_q}}$

這就是很多教材中對張量的定義式。