詭異的布雷斯悖論：為什麼越是修新路，城市反而更堵了！
來自專欄 Dizzy In Science
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廢話不多說，鬼故事馬上開始。
司馬億每天上班的通勤時間，大約為65分鐘。時間確實長了些，但再忍忍也就過去了。
畢竟新修的道路不日將開放，自己再也不用起得比雞還早啦。
然而，恐怖的事情就發生在這條新路開通的那天。兢兢業業的司馬億，高高興興地出門——卻破天荒地遲到了。
路程明明比平時短得多，但花的時間竟比平時還多了整整15分鐘。
司馬億這個月的全勤獎，也隨之化為泡影。
事實上，這種詭異的情況在現實中還真不少見。明明增加了路線，但堵車的情況卻更加嚴重了。而這種吃力不討好且反常識的交通網路現象，便是著名的布雷斯悖論，由德國數學家迪特里希·布雷斯（Dietrich Braess）於1968年提出。
在這個悖論面前，我們常識中的「多修路能化堵」，彷彿也失效了。當在一個繁忙的交通網上，新增加一條線路。這條新增的線路不但沒有辦法減輕交通的延滯，反而還會拉低整個交通網路的服務水準。
我們不妨看一下這個概念模型。
每天都有一批人必須從S點前往E點。而想要完成這段路程，共有2條線路，分別為SME或SWE。其中SW與ME的路況較好，無論有多少車輛駛過都只需要45分鐘。但SM段與WE段就不同了，比較容易堵車：隨著車流量x的增大，所需時長（x/100）也會增加。
現在假設每天都會有4000輛小汽車會從起點S前往終點E。這時，一場博弈已經展開了，站在分叉路口上的老司機會選擇走哪條路呢？如果有a人選擇走SME路線，那麼總時長則為a/100+45，而走另一條路SWE的總時長則為45+（4000-a）/100。由此可見，無論哪條路人更多，該路段的通行時間就會越長。
當然，司機們一開始也無法得知其他人會如何選擇路線，便會偏向於隨機選擇一邊。司馬億每天上班，也同樣要經歷這樣的抉擇。但到後來，如果SME所花時間多，大家便會湧向SWE。而SWE的人多了所花時間變長了，人們又會自然回到SME。
最終，這兩條路都會平均分攤到2000輛的車流量，通行時間固定為2000/100+45=65分鐘。
以上，便是修路之前的大致狀況了。現在我們就來修路吧，看看會發生什麼？
如圖所示，在MW之間新增一條快速通道，使得M與W連成一體。這條路暢通得「如飛一般的感覺」，所花時間幾乎可以忽略不計，設為0。
這對全體司機來說，無疑是件大好事。而且說MW路段是捷徑都不為過，他們每一個人都能從這段新路中獲得優勢。
在這種情況下，就算SM與WE路段擠滿了人（即x=4000），這兩段路的耗時也只需4000/100=40分鐘。所以相比另外兩段路（SW與ME）固定耗時45分鐘，走SM與WE路段始終耗時更短。而我們也注意到，此刻原來兩條路線SME與SWE均需要花費85分鐘。
經濟學中假設每個司機都是自私自利的，他們必然會選擇對自己最有益的路線。於是，所有人會毫不猶豫地選擇SMWE這條新路。用80分鐘（4000/100+0+4000/100=80）走完全程。
但是回過頭看看才發現，大家都被坑了。原本在不修這條該死的新路前，無論走哪條路都只需要65分鐘。驚不驚喜，意不意外，多修了一條近路，司機的總通行時長反而增加了。所以，這也是司馬億為什麼遲到的原因，一目了然。
我們可以注意到，正是「自私」造成了這種困境。事實上，如果所有司機約定好犧牲一下走回原來的老路，大家都會比現狀好些，至少每人都能節省個15分鐘。但在利益面前，人都是趨利的，這也是布雷斯悖論的關鍵所在。在這個4000人的博弈中，你個人的選擇已經不太重要了，其他的3999人才是重點。
於是我們可以看到，大家都競相選擇最有利的路線。最後卻在無形中之中，使得交通系統崩潰。這也是納什均衡中提到的，個體聰明選擇的匯總，其實並非最優解。所以加入了新的道路，反而讓所有人都陷入了「囚徒困境」式的納什均衡。而大家都因忌諱損害自身的利益而選擇抄近路，則是布雷斯悖論中的納什均衡點。身陷這個龐大的漩渦，司馬億遲到都是可以預料的後果了。
在現實生活，這種好心辦壞事的例子可不少見。
例如，1969年德國的斯圖加特市添加了一條新道路，就是為了解決交通不順暢的老毛病。
沒想到卻得了反效果，交通狀況更是惡化，堵得水泄不通。絕望的政府只好把這些路段去掉，交通才得以恢復原狀。
所以反過來，許多大城市也曾參考這個理論來制定了政策。有時只需把「多餘」的路封掉，就能提高道路網路的整體效率。
比如在1990年世界地球日當天，紐約市政府就決定關閉最繁忙的路段第42號大街。
當時紐約的媒體和市民直接炸開了鍋，都認為政府腦子是不是銹了。對本來就堵成沙丁魚罐頭的紐約市來說，這無異於雪上加霜。有人甚至直接唱衰，預言那天將會是「世界末日」。但讓人意外的是，地球日如期而至，擁堵卻沒有發生。
再如韓國首爾市中心就有一條名為清溪川的河流，全長10.84公里，總流域面積達59.83平方公里。但你可能有所不知，這條清溪川原本竟是一條6車道的高速公路，每天都要承載16萬8千輛車。把這條高速公路改成河流之後，首爾交通不但沒有變堵，反而是得到了極大的疏通。
所以說布雷斯悖論，還真不只是「有趣」那麼簡單，這些案例或許都能用「布雷斯悖論」的逆向思維解釋。
此外一些研究表明，它還可能解釋波士頓、倫敦和紐約等大城市的交通問題。如果將某些公路關閉，或可以減少車輛的平均出行時間。
不過也有些學者認為，如果交通流量增大到一定程度，布雷斯悖論提到的現象便不會再發生了。這個結果則可以由「群眾的智慧」來解決，但這又是另外一個議題了。如果經過某段特定的路時，會增加出行時間。那麼久而久之，人們就會在出行時換其他路線試試，最終達到這個平衡。所以最壞的情況，也就是大家覺得這條路實在太衰，以後再也不用它了。你看司馬億這次遲到了，下次還敢不敢走這條路？
事實上，布雷斯悖論還可以應用到團隊策略中，例如籃球、足球等比賽。
一支籃球隊可以看做是一條得分線路的網路，每條路徑的效率都不同。然而，當這隻隊伍有明星球員加入時，反而會降低整個球隊的整體效率。因為過度利用明星球員的「這條捷徑」，可能會導致更糟糕的結果出現。
而競技體育屆的布雷斯現象，甚至還有了另外的代名詞「尤因理論」。這源於1999年尼克斯隊與步行者隊的傳奇一戰。
當時尼克斯隊的最強球員帕特里克·尤因發生了意外，跟腱撕裂，無法比賽。
遇到這種情況，大家都直言尼克斯隊怕是要涼了。但是到最後尼克斯居然還是以4：2的比分贏得了比賽，順利晉級NBA總決賽。
這場比賽，就與交通中的布雷斯悖論有著異曲同工之妙。明尼蘇州大學的布萊恩·斯基納就特別痴迷籃球，2009年他還特地對此現象構造了對應的概念模型。他認為，球隊就是因為知道利用明星球員這條線路能夠提高獲勝幾率，打出高分。然而，這條路有時卻也會變成那條被「自私的司機」塞滿的捷徑。
不過提醒一句，下次上班路上遇著堵車時，可別用布雷斯悖論作借口。
你老闆可能會問你：那你導航呢？
*參考資料
Presh Talwalkar.Why the secret to speedier highways might be closing some roads: the Braess paradox.2009.01.06
WIKIPEDIA：Braesss paradox
Michael T. Gastner.The Price of Anarchy in Transportation Networks: Efficiency and Optimality Control.2008
Brian.An example of Braess』s Paradox in basketball.2009.11.30
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