Functional Analysis Week 5

10-12

來自專欄從分析到概率到幾何5 人贊了文章

本周第一節課講的比較雜，但是整體上還是Hahn Banach Theorem的應用

推論：令 $X$ 為 $mathbb{R}$ 上賦范線性空間， $Ysubset X$ 是一個子空間

則有(i) $X^*/Y^perpsimeq Y^*$ （ $[x^*]mapsto x^*|_Y$ 是個等距同構）

(ii) 如果 $Y$ 是閉的，令 $pi:X o X/Y$ 為投影運算元，則 $pi^*:(X/Y)^* o Y^perp:LambdamapstoLambdacircpi$ 是個等距同構

證明：(i) 令 $r_Y:X^* o Y^*$ 為 $X^*$ 到 $Y^*$ 上的限制，那麼根據 $Y^perphookrightarrow X^*xrightarrow{r_Y} Y^*$ 恆為零, 映射 $X^*/Y^perp o Y^*:[x^*]mapsto x^*|_Y$ 是可以被定義的，按商空間定義這是一個單射，根據Hahn Banach Theorem這是一個滿射，由此這是一個同構。接下來我們驗證等距性：令 $psi_0in X^*$ , 對應的 $psiin X^*/Y^perp$ , 那麼 $|psi|=inf_{nin Y^perp}|psi_0+n|gesup_{yin Y-{0}}|psi_0(y)+n(y)|/|y|=|r_Ypsi_0|$ , 另一方面Hahn Banach Theorem說明 $exists ilde{psi}in X^*$ 使得 $ilde{psi}|_Y=psi_0|_Y$ , 且有 $| ilde{psi}|_Y=|psi_0|_Y$ , 即有 $| ilde{psi}-psi_0|in Y^perp$ , 那麼 $|psi|=inf_{nin Y^perp}|psi_0+n|le| ilde{psi}|=|r_Ypsi_0|$ .

(ii) 對於給定的有界線性泛函 $Lambda$ , 明顯 $Lambdacircpi$ 是 $X$ 上有界線性泛函並且 $Lambdacircpi|_Y=0$ . 由此 $Lambdacircpiin Y^perp$ . 反過來對於 $x^*in Y^perp$ , 那麼和(i)中同理可以合理定義一個唯一的 $Lambda$ 使得 $Lambdacircpi=x^*$ , 為證明 $Lambda$ 有界，我們有 $Lambda(x+Y)=left<x^*,x ight>=left<x^*,x+y ight>le|x^*||x+y|,forall xin X,yin Y$ , 因此 $|Lambda(x+Y)|le|x^*|inf_{yin Y}|x+y|=|x^*||x+Y|_{X/Y},forall xin X$ , 故 $|Lambda|le|x^*|$ . 反過來 $left<x^*,x ight>=Lambda(x+Y)le|Lambda||x+Y|_{X/Y}le|Lambda||x|,forall xin X$ , 故 $|x^*|le|Lambda|$ , 即說明是一個等距同構

（因為教材上喜歡用 $x^*$ 表示 $X^*$ 的元素用內積的形式 $left<x^*,x ight>$ 定義映射 $x^*(x)$ ，prof還是喜歡用希臘字母表示映射...所以我複習的時候結合教材和老師講的內容來複習我這裡兩個表示方式混著用確實有點亂...不過思路上是沒問題的，但是我還是要吐槽我們老師，這個 $psi,psi_0, ilde{psi}$ 太繞人了實在是，而且一會兒 $psi_0|_Y$ 一會兒 $r_Ypsi_0$ 的不累嗎= =...我還是要讚美教材的簡潔記法）

接下來討論了一下凸分離的問題

定理：令 $N_1,N_2$ 為賦范線性空間 $E$ 上的凸集，並且 $N_1cap N_2=emptyset$ , $N_1^circ eemptyset$ , 那麼 $existsphiin E^*(phi e0)$ 和 $cinmathbb{R}$ 使得 $phi(x_1)le c,forall x_1in N_1,phi(x_2)ge c,forall x_2in N_2$ , 而且有 $forall phi(x)<c,forall xin N_1^circ$ .

證明：令 $N=N_1-N_2={x_1-x_2|x_1in N_1,x_2in N_2}$ , 明顯 $N$ 也是凸的，且 $0 otin N$ , $N^circ eemptyset$

令 $x_0in N$ , $N_0=N-x_0$ , 那麼 $-x_0 otin N_0$ .

定義 $p(x)=left{ egin{aligned} 0,&&x=0 \ infty, & &mathrm{if } exists tinmathbb{R}^+ mathrm{ s.t.}frac{x}{t}in N_0\ inf{tinmathbb{R}^+|frac{x}{t}in N_0},& & mathrm{if }exists tinmathbb{R}^+ mathrm{ s.t.}frac{x}{t}in N_0 end{aligned} ight.$ , 那麼 $xin N_0$ 時有 $0le p(x)le1$ , $x otin N_0$ 時候 $p(x)ge1$ .

引理： $p(x)$ 是次線性的

證明：明顯 $p(x)$ 是非負齊次的（對 $mathbb{R}^+$ ），我們需要證明 $p(x+y)le p(x)+p(y)$ , 當 $p(x)$ 或者 $p(y)$ 為 $0$ 或者 $infty$ 的時候明顯成立（ $infty$ 的情況注意用 $N_0$ 的凸性）. 考慮 $0<p(x),p(y)<infty$ 的情況，給定 $epsilon>0$ , $exists s,t$ 使得 $p(x)<t<p(x)+epsilon,p(y)<s<p(y)+epsilon$ , 按 $p$ 定義可知 $frac{x}{t},frac{y}{s}in N_0$ 那麼由凸性有 $frac{x+y}{t+s}=frac{tx}{t(t+s)}+frac{sy}{s(t+s)}=frac{t}{t+s}frac{x}{t}+frac{s}{t+s}frac{y}{s}in N_0$ , 於是有 $p(x+y)le t+sle p(x)+p(y)+2epsilon,forallepsilon>0$ , 因此 $p(x+y)le p(x)+p(y),forall x,y$

回到原來定理的證明，令 $E_0subset<x_0>$ , 定義 $phi_0in E_0^*$ , $phi(lambda x_0)=-lambda$ , 由於 $-x_0 otin N_0$ , $p(-x_0)ge1$ , $phi_0(-x_0)=1$ . 那麼 $|phi_0(x)|le p(x),forall xin E_0$ , 這樣我們就找到了一個控制來使用Hahn Banach Theorem, 故 $existsphiin E^*$ 使得 $phi|_{E_0}=phi_0$ 並且 $|phi(x)|le p(x),forall xin E$ , 於是 $|phi(x)|le p(x)le 1,forall xin N_0$ . 給定 $xin N, x=y_0+x_0$ , 其中 $y_0in N_0$ , 則 $phi(x)=phi(y_0)-1le0,forall xin N$ , 故 $phi(x_1-x_2)le0,forall x_1in N_1,x_2in N_2$ , 即 $phi(x_1)lephi(x_2),forall x_1in N_1,x_2in N_2$ , 那麼由於左右完全無關，用左邊sup和右邊inf就得到了 $exists c$ 使得 $phi(x_1)le cle phi(x_2),forall x_1in N_1,x_2in N_2$ . 最後我們只需要對 $N_1$ 的內點檢查 $phi(x_1)<c$ , 實際上如果 $phi(x_1)=c$ 對於 $x_1in N_1^circ$ 還成立，那麼 $phi$ 限制在開球 $B_delta(x_1)$ 上一定是個常函數 $phi(x)=c$ ，否則若 $x_1+x_1in B_delta(x_1)subset N_1$ 使得 $phi(x_1+x_1)<c$ , 那麼根據線性性 $phi(x_1-x_1)>c$ 與 $phi(x)le c,forall xin N_1$ 矛盾。又因為如果 $phi$ 限制在開球 $B_delta(x_1)$ 上一定是個常函數，它在全空間也一定是個常函數，這樣 $phi=0$ 矛盾

推論：令 $X$ 為一個實Banach空間， $Asubset X$ 是個開的凸集並且 $0 otin A$ , 令 $Ysubset X$ 是一個閉的線性子空間使得 $Ycap X=emptyset$ . 那麼存在一個超平面 $Hsubset X$ 使得 $Ysubset H$ 並且 $Hcap A=emptyset$ .

證明：令 $ilde{X}=X/Y$ , $pi:X o ilde{X}$ 為投影，令 $ilde{A}=pi(A)$ , 那麼 $ilde{A}$ 是凸的，並且 $0 otin ilde{A}$ , 於是根據前面定理可知 $existsLambdain ilde{X}^*$ 使得 $Lambda(x)ge c>0,forall xin ilde{A}$ , 而根據最前面的推論我們知道 $pi^*:Lambdamapsto Lambda circpi$ 是一個等距同構，由此我們得到了一個 $Y^perp$ 上的泛函 $Lambdacircpi$ , 它取 $0$ 時對應的原像就是我們要找的超平面 $H$ ，並且由於 $Lambda(x)>0,forall xin ilde{A}$ , $Lambdacircpi(x)>0, forall xin A$ , 即 $Hcap A=emptyset$

推論：令 $X$ 為一個實的賦范向量空間， $Asubset X$ 是非空凸的，那麼 $A=igcap_{alphain I}H_alpha$ , 其中 $H_alpha$ 為半空間 $H_alpha={xin X|phi_alpha(x)>c,phi_alphain X^*}$ .

證明：根據前面推論任意給定 $p otin A$ , 就存在一個超平面將 $A$ 和 $p$ 分進兩個半空間中，即證

接下來討論了下Reflexive Banach Space

令 $X$ 為一個賦范向量空間，則 $X^*$ 是一個Banach空間，那麼 $X^{**}$ 也是個Banach空間

定義： $i_X:X o X^{**}$ 為 $i_X(x)(phi)=phi(x)$

定義：一個Banach空間 $X$ 稱為自反的如果 $i_X:X o X^{**}$ 是一個等距同構

引理：上面定義的 $i_X$ 是一個isometric embedding

證明：我們只需要證明等距性，由於 $|i_X(y)|_{X^*}=sup_{phiin X^*-{0}}frac{|i_X(y)(phi)|}{|phi|}lefrac{|phi||y|}{|phi|}=|y|$ , 有 $|i_X(y)|le|y|$ . 又根據Hahn Banach Theorem, 存在 $phiin X^*$ 使得 $|phi_0|=1$ 並且 $|phi_0(y)|=|y|$ , 於是 $sup_{phiin X^*-{0}}frac{|phi(y)|}{|phi|}gefrac{|phi_0(y)|}{|phi_0|}=|y|$ , 即有 $|i_X(y)|ge|y|$ .

由此可見要證明Banach空間的自反性主要還是看 $i_X:X o X^{**}$ 是不是個滿射

推論：令 $X$ 為一個實的賦范向量空間， $Ysubset X$ 是閉的，那麼 $inf_{yin Y}|x+y|=sup_{phiin Y^perp-{0}}frac{|phi(x)|}{|phi|}$

證明：令 $|x+Y|=inf_{yin Y}|x+y|$ , $overline{x}=x+Y$ 為商空間範數和代表元，那麼根據上面的引理可知 $|overline{x}|_{X/Y}=|i_{X/Y}(overline{x})|=sup_{phiin(X/Y)^*-{0}}frac{|phi(overline{x})|}{|phi|}$ , 根據最前面的結論知道 $(X/Y)^*simeq Y^perp$ , 則 $|overline{x}|_{X/Y}=sup_{phiin Y^perp-{0}}frac{|phi(overline{x})|}{|phi|}$ .

定理：令 $X$ 為一個Banach空間，那麼

(i) $X$ 是自反的當且僅當 $X^*$ 是自反的

(ii) 如果 $X$ 是自反的， $Y$ 是一個閉子空間，那麼 $Y$ 和 $X/Y$ 都是自反的

證明：這裡只證(i)了，因為證明沒有什麼特別有意思的地方，大概最有意思的也就是能見到 $X^{***}$ 這種神奇玩意，以及別把自己給繞死就行了。

先假設 $X$ 是自反的，令 $phiin X^{***}$ , 我們希望找到一個 $X^*$ 裡面的元素使得 $i_{X^*}$ 作用之後變成 $phi$ ，為了不把自己繞死我們先看下這都是啥映射關係。

首先由 $Xxrightarrow{i_X} X^{**}xrightarrow{phi}mathbb{R}$ 得到 $phicirc i_Xin X^*$ , 那麼 $i_{X^*}circ(phicirc i_X)in X^{***}$ , 令 $forall yin X^{**}$ , 由於 $X$ 是自反的 $exists zin X$ 使得 $i_X(z)=y$ , 那麼結合上面所有就得到 $i_{X^*}circ(phicirc i_X)(y)=y(phicirc i_X)=i_X(z)(phicirc i_X)=phicirc i_X(z)=phi(y)$ , 其中第一個等式是 $i_{X^*}$ 的定義，第二個等式是 $i_X(z)=y$ , 第三個等式是 $i_{X}$ 定義，最後一個等式是 $i_X(z)=y$ . 由於 $y$ 是任意的，這說明 $phicirc i_X$ 就是我們想要找的元素（想要不被繞暈還是要花點時間理一下）

再證明另外一邊，假設 $X^*$ 是自反的，由於 $X$ 是Banach的， $i_X(X)$ 是 $X^{**}$ 的閉子空間，現在為了證明 $i_X(X)$ 是個滿射，我們只需要證明 $i_X(X)$ 是 $X^{**}$ 中稠密的，由於Banach空間的子空間稠密當且僅當其annihilator是平凡的，我們只需要證明 $forall Lambdain i_X(x)^perpsubset X^{***}$ 都有 $Lambda(i_X(y))=0$ 對任意 $yin X$ 都成立。根據假設 $exists lambdain X^*$ 使得 $Lambda=i_{X^*}(lambda),$ 那麼 $0=i_{X^*}(lambda)circ(i_X(y))=i_X(y)(lambda)=lambda(y),forall y in X$ , 由此得到 $lambda=0$ , 即有 $Lambda=0$ ，由此得到我們需要的結論。

例子：每個Hilbert空間都是自反的（Riesz Representation Theorem）， $L^p(mathbb{R})^*=L^q(mathbb{R}),forall p,qin(1,+infty),frac{1}{p}+frac{1}{q}=1$ （似乎也叫Riesz Representation Theorem）

例子： $c_0subset l_infty$ 不是自反的，可以證明 $c_0^*=l_1,(l_1)^*=l_infty e c_0$

然後這一章就徹底結束咯，最後的一點時間複習了一下點集拓撲的東西因為要講弱拓撲了

定義：令 $X$ 是一個集合，其上一個拓撲 $au$ 是一系列稱為開集的 $X$ 子集的集合，滿足

(i) 如果 ${U_1,...,U_N}subset au$ , 那麼 $igcap_{i=1}^NU_iin au$

(ii) 如果 ${U_alpha}_{alphain A}subset au$ , 那麼 $igcup_{alphain A}U_{alpha}in au$

(iii) $Xin au,emptysetin au$

定義：拓撲 $au$ 的一個基 $mathcal{B}$ 是一個集族，滿足

(i) $forall xin X$ , $exists Binmathcal{B}$ 使得 $xin B$

(ii) 如果 $xin B_1cap B_2(B_1,B_2subset mathcal{B})$ , 那麼 $exists B_3subsetmathcal{B}$ 使得 $xin B_3,B_3subset B_1cap B_2$

(iii) $Uin au$ 當且僅當 $forall x in U,exists Bin mathcal{B}$ 使得 $xin Bsubset U$

由定義可以看出 $mathcal{B}$ 中元素的並還是拓撲 $au$ 中的元素

定義：令 ${x_n}_{n=1}^infty$ 為拓撲空間 $(X, au)$ 中的序列，則如果 $exists x_inftyin X$ , 對於 $forall Uin au$ , $x_inftyin U$ , 都 $exists N>0$ 使得 $forall n>N,x_nin U$ , 那麼稱 ${x_n}_{n=1}^infty$ 收斂到 $x_infty$ ，記作 $lim_{n oinfty}x_n=x_infty$ .

定義：令 $X$ 為賦范向量空間， $X$ 上的弱拓撲是由包含集合 $B_{A,epsilon,x_0}(forall epsilon>0,x_0in X,A={f_1,...,f_n}subset X^*)$ 的基構成的拓撲，其中 $B_{A,epsilon,x_0}={xin X||f(x)-f(x_0)|<epsilon,forall fin A}=igcap_{j=1}^infty{xin X||f_j(x)-f_j(x_0)|<epsilon}$

注意這裡 $A$ 雖然是任意的但是每一個都是有限個泛函構成的，不然都可以想像如果 $A$ 裡面有極限過程的話會出啥稀奇古怪的問題了

弱拓撲是使得 $forall fin X^*$ 都連續的最小拓撲，明顯 $forall fin X^*$ , $f^{-1}(-epsilon+f(x_0),epsilon+f(x_0))$ 是開的

弱拓撲是Hausdorff的，因為任意一個泛函都是有界的，很容易就用Hahn Banach Theorem把兩個點給分開了

引理：令 $X$ 為一個弱拓撲空間， ${x_n}_{n=1}^inftysubset X$ . 則 $x_n ightharpoonup x_infty$ 當且僅當 $lim_{n o infty}f(x_n)=f(x_infty),forall fin X^*$

必要性：令 $fin X^*$ , $epsilon>0$ , 則 $exists N$ 使得 $n>N$ 時 $x_nin B_{f,epsilon,x_infty}$ , 故 $|f(x_n)-f(x_infty)|<epsilon,forall n>N$ ，即有 $f(x_n) o f(x_infty)$

充分性：設 $x_inftyin B_{A,epsilon,x_infty}$ , 令 $A={f_1,...,f_l}$ , 那麼對每個 $j$ 都 $exists N_j$ 使得 $n>N_j$ 時有 $|f_j(x_n)-f_j(x_infty)|<epsilon$ , 令 $N=max_{j}N_j$ 則 $n>N$ 時 $x_nin B_{A,epsilon,x_infty}$ . 由於 $A,epsilon$ 的任意性可知 $x_n ightharpoonup x_infty$

雖然是基礎得不行的概念改寫式的證明，為了完整性我還是都記下來咯，這一周就到這裡了