《道德經》中的數學——集合論

來自專欄數學心得

「無為而治」是老子哲學中最著名的理論，同時也是誤解最深最廣的理論，究其原因是人們對老子「無為」概念的誤讀。什麼是「無為而治」？《道德經》第二章對此作了高度概括和總結，就是「聖人居無為之事，行不言之教」。可見，「無為而治」並非無所作為，而是要做好「居無為之事」和「行不言之教」兩件大事。歷來對「無為而治」的解讀謬誤層出不窮，是因為對「居無為之事」和「行不言之教」各執其說，莫衷一是。

仔細品味老子對「無為而治」的闡述，我們發現兩千多年前的老子此時似乎已經有了某種「集合論」的思想，他是在用類似「集合論」中「反集」的概念在描述「無為」。通常我們認為「有為」是在做事，「無為」就是沒做事，這種區分對聖人和百姓都一樣。但老子的分析思路完全不同，他首先排除了「沒做事」這種現象，認為它是不相干的，而只考慮「做事」這種現象，也就是用一切可能發生的行為定義了一個行為空間。接下來老子進一步將做事的主體加以區分，分別是「聖人」和「百姓」；更為關鍵的是，老子運用對立統一法則將「做事」視為整體，將「聖人」和「百姓」視為整體的兩個對立面，從而得以考察兩者的共生共滅，相輔相成。我們知道，任何矛盾的兩個對立面是不會出現重疊的，這就意味著老子進一步要求「聖人」和「百姓」不去做同一件事。根據上述行為準則的劃分，「百姓做事」構成了行為空間的一個集合，具有某種共性，老子將它命名為「有為」。而「聖人做事」則構成了行為空間的另一個集合，老子將它命名為「無為」。在一個有效運轉的社會中，一切該做的事必須有人去做，即不會發生行為缺位，於是「無為」和「有為」兩個集合必然覆蓋整個行為空間。又因為聖人和百姓不去做同一件事，即任何行為不會發生越位，於是「無為」和「有為」兩個集合必然互不相交。這就證明了「有為」和「無為」互為反集。於是，我們便得到了純粹老子風格的定義：如果「百姓所為」是「有為」，那麼「不為百姓所為」便是「無為」。「聖人無為」就是不為百姓之所為，讓百姓大有作為；為百姓之不能為，擔當起聖人必須擔當的責任。可見，在老子的辭彙中，「聖人無為」是有明確而具體的內容的。

老子的「無為論」實際上是一種「社會分工論」，其中聖人和百姓各司其職，各有擔當。社會是一個相互作用的系統，任何一方越位或缺位都可能導致系統無法正常運轉，造成「不治」；只有各就各位並真正發揮各自的作用才能實現「大治」。這種明確的社會分工觀點，以及系統功能既不可缺位也不可越位的認識恰恰來源於矛盾對立統一的一般規律，來源於對社會作為整體的把握，是老子哲學最具魅力的內涵。將矛盾對立統一的一般規律運用於國家治理的具體實踐，我們發現了「聖人無為」與「百姓有為」這一對矛盾相輔相成、共生共滅。比如，「百姓有為」這一目標可以通過「聖人無為」來得以實現；一旦「聖人無為」出現錯位，則「百姓有為」必遭破壞；沿著這條思路我們可以進一步發掘出老子思想更為豐富的內涵。所有這些結論都堪稱是最經典的治理理論，即使在今天也具有深刻的指導意義。

老子的「社會分工論」是極富智慧的治理思想，然而由於誤讀，它被淹沒在了「無為論」的汪洋中，兩千多年來沒有引起多少人的注意。什麼是聖人治國的目的？在老子眼裡就是國富民強，百姓大有作為，國家興旺發達，並能世代相傳。老子認為，凡是百姓能做的事無需聖人多勞，聖人要做的事就是百姓無法勝任的。如果沒有這種職能分工也就不存在聖人與百姓的區別，也就不是一個健康有機的社會，從這個意義上講，兩者是相生相息、相輔相成的。在這種社會分工下，聖人不僅要有所作為，而且必須大有作為；不僅要肩負富國強民的重任，而且要實現化民育人的使命。兩千年來，無數人被老子的「無為論」所困惑，膚淺地認為道家崇尚虛空和無為，是所謂的「出世說」，而儒家才是所謂的「入世說」，實乃荒謬至極。同樣，「不言之教」也不是字面上的不用語言去說教，更不是所謂的謹言慎行，身教重於言教。《道德經》第三章中，老子通過具體實例說明聖人「行不言之教」就是要從「價值引導」和「制度防範」兩個方面對百姓施行聖人的教化。我們驚訝地發現，老子所說的「行不言之教」其實就是我們今天所說的文化建設和制度建設。

這裡我們看到，老子在闡述「無為而治」的理念時運用了某種「集合論」的思想，老子的這種數學思維方式貫通整個《道德經》，但後人往往沒有予以足夠重視而僅流於從字面上進行推敲，這也許是因為絕大多數老學研究者缺乏數學訓練的原因。同樣的邏輯在《道德經》第十六章中也有極具想像力的發揮，那裡老子向我們展示了同樣晦澀難懂的「歸根復命」原理；不過我們將同時看到，那裡老子的「集合論」思想拋棄了現代「集合論」中的「封閉性原理」。我們無法判斷這是因為歷史的局限性還是老子的刻意所為，因為《道德經》的整個公理體系就是建立在打破「封閉性原理」的理論假設之上的，這點我們在《《道德經》中的數學——公理體系》一文中已經作了明確的闡述。

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