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洛必達法則的幾個例子

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洛必達法則的幾個例子

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洛必達法則（LH?pitals rule）是在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法。

插入一個八卦：

據說洛必達法則是富二代洛必達買來的。喜歡搞數學卻苦無天分的貴族洛必達用三百個里弗爾（一里弗爾相當於一磅銀子）成功地從伯努力手裡買到了這個定理。因此17世紀最好的投資不是買股票買房子，而是買公式。。。

言歸正傳。

在運用洛必達法則之前，首先要完成兩項任務：一是分子分母的極限是否都等於零(或者無窮大)；二是分子分母在限定的區域內是否分別可導；如果這兩個條件都滿足，接著求導並判斷求導之後的極限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，則說明此種未定式不可用洛必達法則來解決；如果不確定，即結果仍然為未定式，再在驗證的基礎上繼續使用洛必達法則。

不能在數列形式下直接用洛必達法則，因為對於離散變數是無法求導數的。但此時有形式類近的斯托爾茲－切薩羅定理（Stolz－Cesàro theorem）作為替代。

定理1

設

（1）當 $x o a$ 時候，函數f(x)及F(x)都趨於0

（2）在點a的某去心鄰域內， $f(x)$ 和 $F(x)$ 都存在，且 $F(x) eq 0$

（3） $lim_{x o a} frac{f(x)}{F(x)}$ 存在（或為無窮大）

那麼

$lim_{x o a} frac{f(x)}{Fx)}=lim_{x o a} frac{f(x)}{F(x)}$

這種在一定條件下，通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法成為洛必達法則（LH?pitals rule）

定理2

而對於 $x o infty$ 時的未定式 $displaystyle frac {0}{0}$ 有如下定理：

設：

（1）當 $x o infty$ 時，函數f(x)和F(x)都趨於0;

（2）當 $|x| > N$ 時， $f(x)$ 和 $F(x)$ 都存在，且 $F(x) eq 0$

（3） $displaystyle lim_{x o a} frac{f(x)}{F(x)}$ 存在（或為無窮大）

那麼

$lim_{x o infty} frac{f(x)}{Fx)}=lim_{x o infty} frac{f(x)}{F(x)}$

例1 求極限 $lim_{x o 0^+} x^n ln x$ （ $n > 0$ ）

解：

這是未定式 $0 cdot infty$ 。因為：

$x^n ln x = frac{ln x}{frac{1}{x^n}}$

當 $x o 0^+$ 時，上式右端是 $frac{infty}{infty}$ ，應用洛必達法則：

$lim_{x o 0^+} x^n ln x = lim_{x o 0^+} frac{ln x}{x^{-n}} = lim_{x o 0^+} frac{frac{1}{x}}{-n x^{-n-1}}=lim_{x o 0^+} frac{-x^n}{n}=0$

例2 求極限 $lim_{x o 0^+} x^x$

解：

這是未定式 $0^0$ 。設 $y=x^x$ ，取對數得： $ln y = x ln x$

當 $x o 0^+$ 時，上式右端是 $0 cdot infty$ 。 應用例1的結果，得：

$lim_{x o 0^+} ln y = lim_{x o 0^+} (x ln x) = 0$

因為 $y=e^{ln y}，而 lim y=lim e^{ln y} = e^{lim ln y}=e^0=1$ (當 $x o 0^+$ 時)

所以：

$lim_{x o 0^+} x^x=lim_{x o 0^+} y=e^0=1$

例3 求極限 $lim_{x o infty} (1+x)^{frac{1}{x}}$

解：

$lim_{x o infty} (1+x)^{frac{1}{x}}=lim_{x o infty} e^{ln (1+x)^{frac{1}{x}}}=e^{lim_{x o infty} frac{ln(1+x)}{x}}=e^{lim_{x o infty} frac{frac{1}{(1+x)}}{1}}=e^0=1$

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