Soblev嵌入定理臨界情形的證明

10-15

Soblev嵌入定理臨界情形的證明

來自專欄讀書筆記

Lemma 1.1:

$forall x_{i}geq0, k>0, givenspace k, n, exists C_1>0,C_2 >0, s.t:$

$C_1(x_1^k+...x_n^k)leq(x_1+...x_n)^kleq C_2(x_1^k+...x_n^k)$

證明:

首先， $n=2$ 情形易證，取 $x_1,x_2$ 不全為零,不失一般性，令 $x_2 e0$ ，則

$f(x_1,x_2)=frac{(x_1+x_2)^k}{x_1^k+x_2^k}=frac{(x_1/x_2+1)^k}{(x_1/x_2)^k+1}, wherespace ilde{x}=frac{x_1}{x_2}in[0,+infty)$ ,

由於 $lim_{ ilde{x} ightarrow +infty}{f( ilde{x})}=1$ ，且 $f( ilde{x})$ 在任意有界區域內連續有界嚴格大於零，故

$c_1<f(x_1,x_2)<c_2，c_1>0, c_2>0$

使用歸納法，假設 $n=m-1$ 時結論成立。則 $n=m$ 時，令 $x_n > 0$ (等於零則結論可以歸結到 $m-1$ 情形)，

$f(x_1,...x_m)=frac{(x_1+...x_m)^k}{x_1^k+...x_m^k}=frac{( ilde{x}_1+... ilde{x}_{m-1}+1)^k}{ ilde{x}_1^k+... ilde{x}_{m-1}^k+1}$ ,

令 $ilde{x}_1+... ilde{x}_{m-1} = A, ilde{x}_1^k+... ilde{x}_{m-1}^k = B$ ,

$f(x_1,...x_m)=frac{(A+1)^k}{B+1}$ ,由歸納法， $ilde{C}_1leqfrac{A^k}{B}leq ilde{C}_2$ ,

故 $ilde{C}_1A^kleq Bleq ilde{C}_2^kA^k$ ，因此，

$frac{(A+1)^k}{ ilde{C}_2A^k+1}leq fleqfrac{(A+1)^k}{ ilde{C}_1A^k+1}$ ,易知

$C_1leq f leq C_2$ .

Lemma 1.2

若 $1<s<n$ ,則

$||u||_{H^{1,s}(Omega)}leq Cleft| Omega ight|^{frac{1}{s}-frac{1}{n}} ||u||_{H^{1,n}(Omega)}$

證明：

首先，應用赫爾德不等式，

$[int_{Omega} left| varphi ight|^sdx]^{frac{1}{s}}leq [int_{Omega} left| varphi ight|^{scdotfrac{n}{s}}dx]^{{frac{1}{s}}cdotfrac{s}{n}}cdot [int_{Omega}dx]^{frac{1}{sp}}$ ,

$p=frac{1}{1-frac{s}{n}}$

$Rightarrow [int_{Omega} left| varphi ight|^sdx]^{frac{1}{s}}leq left| Omega ight|^{frac{1}{s}-frac{1}{n}}[int_{Omega} left| varphi ight|^ndx]^{frac{1}{n}}$

由Lemma1.1及Lemma1.2，

$||u||_{H^{1,s}(Omega)}=[int_{Omega} left| u ight|^s dx+int_{Omega} left|partial u ight|^s dx]^{frac{1}{s}}leq C_1[[int_{Omega}left| u ight|^s]^{frac{1}{s}}+int_{Omega}left| partial u ight|^s]^{frac{1}{s}}]$

$leq C_1left| Omega ight|^{frac{1}{s}-frac{1}{n}}[[int_{Omega}left| u ight|^n]^{frac{1}{n}}+int_{Omega}left| partial u ight|^n]^{frac{1}{n}}]$

$leq C_2left| Omega ight|^{frac{1}{s}-frac{1}{n}}[int_{Omega}left| u ight|^n]+int_{Omega}left| partial u ight|^n]^{frac{1}{n}}=C||u||_{H^{1,n}(Omega)}$