MP5：內積、外積、面積、Hermite內積、辛內積

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我們發現，內積和外積都是和相對夾角相關，而和一對向量的整體剛體變換無關。本講用一種特別的角度，從勾股定理出發，把兩個向量長度構成的矩形面積分解稱內積和外積兩個部分。

兩個向量的夾角，在複數上可以表達為一個向量和另一個向量共軛的乘積，於是我們可以使用Hermite內積的結構。進一步，我們發現Hermite內積將內積和外積分解到實部和虛部，從而統一了二者。這樣的結構在復Hilbert空間和量子力學中有重要的應用。

繼而我們推廣到一般有限維度上的Hermite內積問題。這裡面出現了復結構和辛矩陣。將來我們還可以在這些結構上過渡到辛幾何。

本講的內容，將來在許多地方都會遇到，包括泛函分析的Hilbert空間、微分幾何中的外代數、微分形式、張量，以及復幾何和辛幾何等等。本講將建立起基本的理解，便於今後的進一步理解。

上一講在講到正定二次型的時候提到內積。我們在中學已經接觸到了內積和外積，對這些概念略有一些物理直觀。現在，我們回到複平面，用 的工具來深入了解這些概念，並且得到一種重要的內積結構：Hermit內積。Hermit內積與許多數學性質相關，在泛函分析的運算元理論和量子力學的數學基礎上起著基礎性的作用。深入地理解內積是對學習泛函分析大有幫助，而深入地理解外積，未來則將幫助我們開啟外代數、外微分、外形式、symplectic結構等數學和物理領域。

矩形與平行四邊形的面積：回顧中學知識

中學數學和中學物理經常遇到的一個問題是，平面兩個向量所形成的平行四邊形。中學學過了正交，倘若兩向量正交，兩向量的長度為 ，則兩向量形成一個矩形，面積為：

倘若兩向量之間的夾角為 ，則兩向量形成的平行四邊形的面積為：

這個面積是有向的。中學物理中的力矩就是一個例子。力矩的大小相當於力和徑向長度兩向量之間的平行四邊形面積，且由夾角（面積）的符號方向決定力矩的符號方向。我們知道，這個有向的平行四邊形面積一般稱為外積。外（exterior）是一個在微分幾何中很常見的概念，將來會具體談。

作為余面積的內積

進一步，我們認為夾角 決定了投影 ，它把兩向量的矩形面積（兩向量間任意夾角的最大可能面積）投影為平行四邊形面積。即，外積是某種總面積投影形成的。

下面，我們談余（co-）這個字。

正弦（sin = sine）

余弦（cos = cosine）

可見人們理解了正弦以後，便可以認為餘弦是正弦余下的某種東西，或者當前者變化就要伴隨（co-）著變化的某種東西。那麼正弦和餘弦之間靠什麼聯繫呢？靠宇宙第一真理：

我們所以在這裡講到如此初等的內容，是為了讓大家看到，內積從某種意義上，也是一種余面積。前面講到總面積為 ，在夾角 時，總面積投影成為外積 ，那麼自然就得到了一個余面積 。它不是別的，正是我們所數知的內積，例如力向量和位移向量的內積就是功。

夾角的描述：共軛

前面的討論告訴我們，外積和內積是總面積根據兩向量夾角 進行的正交投影。夾角成為了最主要的因素。令兩向量分別為：

其夾角為

這個夾角是有方向的。於是外積和內積分別成為：

我們在第一講中，使用了中學數學的三角函數，在 中研究過Euler公式。現在我們用類似的方法，將內積和外積寫成 中的向量：

等下我們將了解到這個等式右邊就是Hermit內積定義中的共軛乘法。這個式子相當於複數運算：

其關鍵之處在於對第二個變元是共軛的，從而在複數乘法中，得到了兩向量的夾角。

Hermit內積

綜上，向量 之間定義運算

可以得到一個複數，其實部為向量內積、虛部為向量外積。

如此定義的運算可以證明是一個復內積，稱為Hermit內積。

既然 是同構的，我們在實平面 上構造向量：

我們注意到，這兩個向量的內積就是以上Hermit內積的實部，而Hermit內積的虛部可以展開為：

真正有趣的是這個形似單位矩陣卻又不同的東西：

在前面我們已經遇到過它，見：