拉普拉斯方程不同坐標系下的表示
由於最近在知乎中看見一些問題,關於拉普拉斯運算元在不同坐標系下的表示,主要是為了讓大家擺脫死記硬背的方法,其中關於此問題「請問拉普拉斯運算元如何進行坐標變換?」中看見大佬 @董玉龍 給出了非常簡單易記的公式:
當然現在我只是要給出這個公式怎麼推出來的,並給出一些有關張量分析裡面的額外知識。
先給出有關協變、逆變分量,以及協變基矢量和逆變基矢量的定義.
矢量 ,其中 為逆變分量, 為協變分量, 為逆變基矢量, 為協變基矢量,其中可以把協變基矢量和逆變基矢量分別按逆變基和協變基分解,即 .其中協變基矢量和逆變基矢量符合下面性質:
根據上面的性質可以得出協變基矢量與逆變基矢量的關係:
其中 和 ,可以得出 .
根據 ,其中稱張量 為度量張量.
為證明我們的目標公式,先引入 ,令:
關於克氏符號的一些性質不再介紹了,大家可以額外去推導.
準備手段基本上已經完成了,現在進行證明:
由於 ,可以得出 的散度(注意裡面的基矢量可能隨坐標變換而變換):
現在不妨令 ,即有
帶入到 的散度上去,即有:
即:
從而證明出公式,現在舉一個例子試試,雖然前面問題的回答已經有了,但是我還是自己動手試一試:
由於 ,將 寫成矩陣的形式,顯然是正定的,從而定義 是由意義的.
對球坐標而言有: ,線元 ,從而有度規 ,行列式 ,逆 ,從而有拉普拉斯運算元為:
當然根據協變基矢量我們可以簡單的得出 運算元在不同坐標系下的表示,展示一個在球坐標系下的表示:根據協變基矢量與逆變基矢量的性質,顯然可以得出逆變基矢量在球坐標下的形式為 ,從而帶入 運算元的表達式即可,所以在球坐標下的表示為: .
當然柱坐標系只需要知道線元即可,當然也很簡單, .餘下步驟就不多強調了,可以去看看大佬 @董玉龍 的回答。
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