MP57：從Schr?dinger圖景看量子力學中的酉(unitary/幺正)變換

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上一講通過Cayley變換構造了從自伴運算元到酉運算元的過渡

MP56：線性運算元(9)：Cayley變換

過去我們大量的研究都集中在自伴運算元上，從現在開始，我們更多要研究研究酉運算元，特別是在運算元半群相關的方面，我們要更多考慮時間演化，需要用單參數的變換群來處理實際問題。本講試圖先建立一些對酉變換的直觀理解。

首先我們介紹量子力學的Schr?dinger圖景。在Schr?dinger圖景中，態隨著時間演化，而對應著可觀測量的算符與時間無關。Schr?dinger圖景主要依靠一個酉運算元——時間演化算符。其中，起著關鍵作用的是時間演化運算元對Hermite內積的保持，它是比實正交更強的條件。最後我們還討論了運算元指數。我們比較簡要地將其和Lie群的矩陣指數結合起來討論，並略為介紹了單參數的運算元半群。

Schr?dinger圖景

在Schr?dinger圖景中，態隨著時間演化，而對應著可觀測量的算符與時間無關。Schr?dinger圖景主要依靠一個酉運算元——時間演化算符(time evolution operator)：

$U(t): mathscr H o mathscr H$

$psi(t_0) mapsto psi(t) = U(t,t_0) psi(t_0)$

作為一個酉運算元，它的共軛轉置作用於對偶空間：

$U(t): mathscr H^* o mathscr H^*$

$psi(t_0) mapsto psi(t) = psi(t_0) U^dagger(t,t_0)$

酉運算元還保持了Hermite內積，以Dirac符號表示為：

$langle psi (t)|psi (t) angle =langle psi (t_{0})|U^{{dagger }}(t,t_{0})U(t,t_{0})|psi (t_{0}) angle =langle psi (t_{0})|psi (t_{0}) angle$

以及

$U^{{dagger }}(t,t_{0})U(t,t_{0})=I$

時間演化運算元和時間也是同構的：

$t simeq U(t,t_0)$

$U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0})$

現在分析時間演化運算元的作用，Schr?dinger方程

$ihbarpartial_t = H$

根據時間演化運算元的作用

$psi(t) = U(t,t_0) psi(t_0)$

約去常數 $psi(t_0) in mathscr H$ 得到

$ihbarpartial_t U(t) = HU(t)$

對於不含時的Hamilton量的情況，可以解得：

$U(t)=e^{{-iHt/hbar }}$

實際上它符合我們過去對Schr?dinger方程解的結構的研究結論：

MP45：Schr?dinger方程(1)：分離變數法與解的結構

什麼是酉(unitary)？

在Schr?dinger圖景中，起著關鍵作用的是時間演化運算元對Hermite內積的保持，即以Dirac符號表示為：

$langle psi (t)|psi (t) angle =langle psi (t_{0})|U^{{dagger }}(t,t_{0})U(t,t_{0})|psi (t_{0}) angle =langle psi (t_{0})|psi (t_{0}) angle$

而用內積符號表示為

$langle psi (t), psi (t) angle =langle psi (t_{0})U^{{dagger }}(t,t_{0}), U(t,t_{0})psi (t_{0}) angle =langle psi (t_{0}),psi (t_{0}) angle$

$int_Omega overline{psi (x,t)} psi (x,t) dx = int_Omega overline{psi (x,t_0)} psi (x,t_0) dx$

換句話說

$frac{d}{dt}langle psi (t), psi (t) angle = frac{dt}{dt}int_Omega overline{psi (x,t)} psi (x,t) dx = 0$

關鍵在於酉運算元的特性

$U^{{dagger }}(t,t_{0})U(t,t_{0})=I$

回顧一下我們過去如何理解Hermite相關的問題：

MP5：內積、外積、面積、Hermite內積、辛內積

MP39：量子力學中的內積結構

兩個複數的Hermite內積 $langle v, w angle$ 抓住的是複平面上的夾角，它給出了包含實內積和辛內積的統一形式。而酉運算元的作用可以保持這個內積：

$langle Uv, Uw angle = langle v, w angle$

根據我們在線性代數的知識，用正交矩陣 $O$ 對對稱矩陣 $A$ 進行正交變換，對應的就是旋轉和鏡像：

$A^prime = OAO^{-1}$

這種變換是保長度的，它相當於改變一個視角（正交基的旋轉和鏡像）來重新觀察。類似的，利用酉運算元對自伴運算元 $A$ 進行酉變換，也是一種改變視角的觀察方式，改變視角本身是保內積的，它不僅保持實內積，還要保持辛內積。後面我們將看到，藉助Stone-von Neumann定理，我們可以對任意滿足正則對易關係的自伴運算元：

$[A,B] = ihbar I$