什麼是上極限?
上極限是當n→+∞ k>n時,an的上確界嗎?
謝邀,問題很初等,我藉機科普一個概念:數列的(極限 limit point)凝聚點(accumulation point)
Limit point - Wikipedia?en.wikipedia.org一個點 叫數列 的凝聚點當且僅當對於任意的 ,區間 包含無限個數列中的項。這和集合的極限點(凝聚點)不是一個概念。如果把數列看成集合,它的集合凝聚點一定是數列極限點,但是反過來不是。比如數列 ,這個數列(的值)作為集合是 ,它只有離散點,沒有凝聚點。但是, 都是數列 的數列凝聚點。
一個點 叫數列 的凝聚點的等價定義是存在一個子序列 使得它的極限剛好就是 .好了,回到數列的凝聚點,任何有界數列都有凝聚點,這些凝聚點本身構成一個集合,這個集合是一個有界閉集(也就是緊集),然後它的最大值就是上極限。
如果證明任何有界數列都有凝聚點呢?只需要取一個單調數列就好,任何一個數列必然包含一個單調子序列。對於任意的 , 我們選取其中的尖峰項 , (一個數列項滿足 就叫尖峰項)。只有兩個可能,這個序列只包含有限個尖峰項,這個時候這個數列在某一個項後自然存在一個嚴格單調遞增的數列。如果這個數列包含無限個尖峰項,這些尖峰項本身構成一個單調遞減序列。一個有界的單調序列必然有極限,這是實數本身的性質決定的,所以任何有界數列必然有極限。
還有一種非常便宜的用來計算的定義,那就是 , 在這個定義中數列 雖然不是原數列的子列,但是它的極限必然是原序列極限點(大家證明看看)。然後你還能證明這是所有極限點中的最大者。這個數列 是本身是單調遞減的,所以我們可以直接把 .
類似的,我們可以定義下極限。為什麼我們需要說明那麼多的等價定義呢?因為在實際使用的過程中,你得根據情況選擇最佳的定義作為工具,這也是學數學基本的思路。
謝邀。
我們知道,很多數列是沒有極限的,除了發散至無窮這種情況外,大部分數列沒極限的原因是極限的「候?選手」太多了,而極限只能有一個。
這樣的數列非常容易構造出來:把趨於不同極限的多個數列「混合」在一起就好了。比如:
n=1,2,3,...
以上三個數列都有極限,分別是0、0.5、1
構造新的數列:a?,b?,c?,a?,b?,c?,…
這下新數列就沒有極限了。但是,我們知道,新數列中存在子列c,它的極限最大並且是1,為了表述這個事實,我們就發明了上極限的概念,同理,也可以定義下極限。用符號表示:
就是在極限符號上加一條橫線即可;等號右邊使用上確界,描述子列當中最大的極限。
如果,對於趨於無窮的數列,將 ∞ 也視為這個數列的極限,那麼任意一個數列都存在上極限了!
這下,我們就把數列極限的定義推廣了,對任意數列都可以研究其極限性質了。
另外,補充一個很顯然的事實:
當一個數列上、下極限相等時,數列存在極限,並且等於上、下極限。
利用該性質可以判別數列收斂性,這不就是「夾逼準則」嗎?
準確說是該點列所有聚點(正、負無窮也可視為聚點)的上確界。有界點列的聚點總是存在的,無解點列,至少正、負無窮是一個聚點。
例如:1,2,1,1,後面都是1
它的上確界是2,但上極限就是極限,是1。
例如:1,-1,1,-1,....
它沒有極限,但它有兩個聚點,1,-1
因此上極限是1,下極限是-1.
看見標題,我還以為是在說colimt。唉。
要先去看看上確界和下確界的概念上確界的下確界
個人覺得那個活塞理論很棒
先理解部分極限的概念。
任何函數在一點至少有一個部分極限。
部分極限中總有最大的(上極限)和最小的(下極限)。
函數在一點有極限等價於該點所有部分極限相等。
從結論上說,是上確界也沒錯。
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