為什麼行列式無論按行展開還是按列展開最後結果都相等?
12-23
Coordinate-free 的證明正如 @李木子 所寫的。假設
是
為向量空間
上的線性變換我們要證明的其實就是
。根據定義
是線性變換
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對於的scalar,即
. 類似地,
是線性變換
對應的scalar,這裡
表示
的對偶。只需要注意到對於有限維空間
自然同構於
(這個對無限維空間不一定成立),因此
可以看成
的轉置
,因此
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這裡
以及雙線性形式
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於是我們得到
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根據雙線性形式是非退化的即可得到
。
我們也可以根據矩陣行列式的定義
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來證明
,這裡
表示 對稱群,
表示排列
的符號(奇排列為
,偶排列為
)。在上面求和中做變數替換
並使用
即可得到
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這個問題實際上相當於在問, 為什麼
. 如果說明這一點, 就可以說明按行展開和按列展開是一樣的, 因為後者其實就是轉置之後按行展開.
我不想在這裡寫如何按定義證明這件事情. 我希望試圖解釋為什麼這件事情是自然的. 考慮線性空間
, 對偶空間為
. 如果取定一組基, 使得
和
上的配對是行向量乘以列向量, 那麼轉置可以如下定義為
.
現在
和
上的配對可以確定
和
的配對.
誘導
上的線性變換
. 於是由於
和
是一維線性空間,
實際上的意思是說
. 也就是誘導變換的伴隨是伴隨的誘導變換.
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