什麼是大變形理論和小變形理論？

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如圖，一個物體上的微小元 $dar{r}$ ( $ar{PQ}$ )由於物體的變形(拉伸旋轉等)變成了變形後的 $dar{r}$ ( $ar{PQ}$ )。由圖可知， $ar{u}=ar{r}-ar{r}$ ，即 $u_{i}=x_{i}-x_{i}$ 。現在我們記PQ的長為 $dl$ ，PQ的長為 $dl$ 。不難得到， $(dl)^2=dx_idx_i$ ， $(dl)^2=dx_idx_i$ 。現在我們展開 $(dl)^2$ ，帶入 $x_{i}=u_{i}+x_{i}$ ：
$(dl)^2=d(u_i+x_i)d(u_i+x_i)$

$(dl)^2=(dx_i+frac{partial u_i}{partial x_j}dx_j)(dx_i+frac{partial u_i}{partial x_k}dx_k )$
$(dl)^2=dx_idx_i+frac{partial u_i}{partial x_j} frac{partial u_i}{partial x_k}dx_j dx_k+frac{partial u_i}{partial x_j} dx_idx_j+frac{partial u_i}{partial x_k}dx_kdx_i$
$(dl)^2=(dl)^2+[frac{partial u_i}{partial x_j} frac{partial u_i}{partial x_k}delta_{jm} delta_{kn}+frac{partial u_i}{partial x_j} delta_{im}delta_{jn}+frac{partial u_i}{partial x_k}delta_{km}delta_{in} ]dx_mdx_n$ $(dl)^2=(dl)^2+[frac{partial u_i}{partial x_m} frac{partial u_i}{partial x_n}+frac{partial u_m}{partial x_n} +frac{partial u_n}{partial x_m} ]dx_mdx_n$
現在我們引入大變形應變Green-Lagrange strain $E_{mn}$ 。
$E_{mn}=frac{(dl)^2-(dl)^2}{2dx_mdx_n}$
所以我們可以得到大變形理論應變：
$E_{mn}=frac{1}{2}[frac{partial u_i}{partial x_m} frac{partial u_i}{partial x_n}+frac{partial u_m}{partial x_n} +frac{partial u_n}{partial x_m} ]$
我們都熟悉小變形應變公式 $epsilon_{mn}=frac{1}{2} [frac{partial u_m}{partial x_n} +frac{partial u_n}{partial x_m} ]$ ，也就是說，小變形的情況應該是 $frac{partial u_i}{partial x_m} frac{partial u_i}{partial x_n}$ 這個高階項小到可以忽略的情況，一般來說（個人觀點），應變小於2%比較適合使用小變形理論。僅個人拙見，不足之處還請指正。

初學連續介質力學，一點思考。
小變形（原始尺寸原理）：參考構型下算梯度

大變形（有限變形）：當前構型下算梯度
摘幾頁我的筆記，有興趣點我看文章。
小變形的原理：
接下來是大變形問題：
罒ω罒初學，有誤請指正~

說一個片面的簡單的區分方法，小變形是指變形後的物體，其力的作用的大小，方向和作用點不隨變形後物體的變化而變化，即忽略物體變形帶來的力的改變。大變形就是要考慮力隨著物體變形而變化。
這裡的力指的廣義力。

可以忽略Dx和Dl區別的叫小變形，不能忽略Dx和Dl區別的叫大變形

一個結構隨著載荷慢慢增大，變形可以分為以下幾個階段：
1. 載荷較小時，由於結構旋轉較小，剛體轉動可以忽略，此時是小變形（應變）小轉動，載荷與應變為線性關係；
2. 載荷增大，在結構屈服極限之前，但結構的轉動大於了大約10度（參考單擺正負5度以內是線性），客觀應變應該排除剛體轉動，此時是小變形大轉動，為幾何非線性，如細長梁；
3. 載荷繼續增大，達到了屈服極限，此時材料的本構關係也變成非線性的，叫大變形，材料非線性，當然結構並不一定要到幾何非線性後再到材料非線性階段，比如拉伸試驗。

很多人用大變形來描述小變形的相對面，其實是不準確的，準確的叫法應該叫「有限變形理論」。有限變形理論是固體力學、連續體力學的一部分。有時間可以看這方面的書，我在這裡就簡要講一下兩者的區別。
問題1：
小變形理論是用來做什麼的，小變形理論是有限變形理論的特殊情況，直接研究有限變形理論不好么，為甚麼把小變形單獨拿出來談？
回答：
小變形理論或者小變形假定是線性力學理論的一部分。
線性力學理論有兩個假定，一個是小變形假定，另一個就是本構關係的材料線彈性假定（胡克定律）。這兩個線性保證了力學微分方程的線性。
力學的微分方程的得到參看《彈性力學》：力學三大方程包括幾何方程（應變—位移關係：小變形假定後變為線性）+物理方程（應力—應變本構關係：材料線彈性後變為線性）+平衡方程（應力—體力關係：本來就是線性的）三大方程線性，力學（總）微分方程線性。
微分方程的線性再加上邊界條件的線性（這裡不詳細展開了，接觸問題是最明顯的邊界條件非線性導致的非線性問題），就得到線性力學理論。
線性力學理論有什麼作用呢？
回答就是：（力學||這裡其實無論哪一門科學）微分方程和邊界條件都為線性時，可以直接得到問題的解（不管幾階微分方程，這裡詳見《高等數學》微分方程—幾種可解的微分方程—線性微分方程一定可解）。

從而力的獨立作用原理，或者也可以叫做，力的疊加原理也得以實現。
他們都是根據（力學||這裡。。）線性微分方程解的疊加原理 （不解釋，自己百度，解=通解+特解，什麼時候可以線性疊加？）得到。因為獨立作用，所以可以互相疊加。所以每一個物理量（比如梁的撓度，和水平向位移）都可以通過單一作用得到的結果，代數加和即可。
問題2
大變形、或者將，有限變形導致了什麼。或者講，非線性理論和線性理論相比，有什麼不同。
回答：
按照力學微分方程和邊界條件的線性非線性，我們把非線性問題分為
1、材料非線性（即本構關係非線性比如彈塑性力學）
2、幾何非線性（包括大變形||有限變形理論和壓桿穩定||屈曲分析（略去不談））
3、接觸非線性（邊界條件非線性）
這幾類。

這三種非線性直接導致的結果是：（力學||無論哪門科學的）非線性的微分方程是無法直接解的超越方程。（自己百度「超越方程」並參照《高等數學》—微分方程—幾種不能直接解的微分方程—什麼你說沒有，除去能直接解的幾種，剩下的不都不能直接解么？？）這種方程一般不能直接得到解析解，只能得到數值解（自己百度「解析解」和「數值解」），而數值解的解法一般為迭代法（最著名的為牛頓迭代法，自己百度「牛頓迭代法」。）
問題3
有限變形假定與小變形假定的關係，即，有限變形理論加入了那些條件簡化為小變形理論（現在想想真是廢話，當然加入了小變形假定的條件）以及
這個過程在方程——幾何方程（應變—位移關係：小變形假定後變為線性）中——是如何實現的。
回答：
這個其他回答里說了，我就不再多說一遍了，涉及到張量，不懂張量的話，可以看我關於張量問題的回答。
小熊醬：怎麼通俗地理解張量?

Dr.Stein的分析，是我見過論述最詳細的

「多大算是大變形呢

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