4-2-1 相互作用的起源 量子力學圖像

對於電子氣來說，唯一存在的相互作用是庫倫相互作用，因此不能支持cooper現象。

為了得到有吸引相互作用的矩陣元 ，電子必須與固體中的其他粒子或激發有相互作用，有許多中不同的的激發可能會帶來吸引相互作用，包括 聲子，其他能帶的電子，磁性介質中的spin wave等等。這其中有一種尤其重要，是電聲相互作用，我們這節來討論它。

量子力學的角度

我們想知道初始態I——兩個電子處於相同的平面波態 和 ，和終態II，兩個電子處於 和 時的矩陣元 。

通常包括兩項：

第一項：

兩對電子之間有直接的庫倫排斥 ，對應的矩陣元為：

如果令 ， 上式可以化簡為：

第二項：

一個電子釋放一個聲子之後被另一個電子吸收。如課本圖4-1所示。

初始態I的能量為： ，xi的定義是電子能量與費米面的偏移。

終態II的能量為：

有動量守恆知道，有兩種可以發生的中間態：

（i1）：電子1處在態 ；此時來了電子2,處在 ；聲子的動量為 ,能量為 。中間態的能量為： 。動量從電子1傳遞到電子2.

（i1）：電子1處在態 ；電子2,處在 ；聲子的動量為 ,能量為 。中間態的能量為： 。動量從電子2傳遞到電子1。

這兩種中間態的能量是相等的。

在上面兩個公式中，我們利用了

我們可以把能讓這個過程發生的哈密頓量當成之前系統的微擾。

因為 ， 都是偶函數，所以一階微擾是0？

最原始的二階微擾下的矩陣元：假設中間態為a對應的能量為 ，f表示final，i表示initial

但是存在兩個方向，每一種概率一樣，前面乘以二分之一後得到課本上的公式4.16

也就是認為I和II是簡併的，中間態是另一個態。

對於吸收或者發射一個波矢為q的聲子，假設 的矩陣元可以寫為

所以公式4.16可以寫為：

所以可以得到課本4-19的公式。後面2的來源是把括弧的兩項合一。

所以當 時，indirect 項是負的（吸引力）。只要 不是非常大，這樣我們就找到了吸引相互作用。

-------for HeyU---------

對於某些問題的哈密頓量H，可以寫為 ，其中 是可解的部分，同時 相對於 很小，此時 叫做對 的微擾，perturbation。

我們可以基於 ，計算出加上微擾之後的波函數和能量。可以認為這個系統只考慮 是不完整的，我們需要根據 計算出對原來系統的修正。

為了看懂下面的矩陣元，這裡需要補充Time-independent perturbation theory 。-

無微擾時候的薛定諤方程是嚴格可解的，有：

0是指0階，在這裡我們假設 的能級是非簡併的。

總的哈密頓量 的本徵態可以用 的本徵態 寫出來：

因為微擾很小，可以認為給系統帶來的改變非常小，認為 可以寫為：

係數同時滿足 和 對s＞0。

同時假設能量 也可以寫為：

把2和3代入薛定諤方程，有：

分別令0階項，1階項，2階項，。。。。相等。

對於1階項，有：

這裡利用到了一個常用的技巧，不要問了。。。方程兩邊的左邊同時乘以 ，並且利用非微擾時候的 互相正交，可以得到：

注意看右邊的 ，這就是哈密度量 在 的本徵態作為基下的矩陣表示。具體的形式是： ，*的意思是求共軛。

等式6中，如果令k=n，左邊等於0，右邊可以得到

這就是對能量的一階修正。如果k不等於n，就可以得到波函數的一階修正，最終結果是：

利用同樣的邏輯，看公式4的二階項就可以得到二階修正。

對於二階修正，左邊乘以 之後，得到：

類似的可以解出二維的修正。結果略。

對於非簡併的情況一般只討論對能量和波函數的修正，也就是只有矩陣對角元的修正。如果系統存在簡併，非對角元也有變化。我們來看如果 是非簡併的怎麼辦？

把 的能級記做 , , ...

並且每一個能級的波函數記做， ， ，

所以簡併態的疊加可以寫為：

對於1階情況，微擾的波函數可以寫為：

把 展開為：

把這個代入薛定諤方程，只考慮一階近似：

對於 的一階項，得到一個方程，之後可以解出來能量和態。

一般來說，本來簡併的態，會變得不再簡併或者部分簡併。