Quantum Information 4

01-31

Quantum Computational

所謂的量子計算是包括量子操控與量子演算法的。量子操控主要就是量子門的構建，量子演算法便是在這些門的基礎上構建能夠解決實際問題的量子門邏輯。

首次介紹量子寄存器來說明為什麼量子計算相對傳統計算有更高的效率。

一個量子寄存器是一些(N個)量子比特的集合。

如果每個量子比特處於平衡態 $frac{1}{sqrt{2}}left( |0 angle+ |1 angle ight)$ 則有

$egin{eqnarray} &&frac{1}{sqrt{2}}left( |0 angle+ |1 angle ight)igotimesfrac{1}{sqrt{2}}left( |0 angle+ |1 angle ight)igotimesfrac{1}{sqrt{2}}left( |0 angle+ |1 angle ight) onumber\ &=&frac{1}{2^{3/2}}(|000 angle+|001 angle+|010 angle+|011 angle+|100 angle+|101 angle+|110 angle+|111 angle) onumber\ &=&frac{1}{2^{3/2}}(|0 angle+|1 angle+|2 angle+|3 angle+|4 angle+|5 angle+|6 angle+|7 angle) end{eqnarray}$

以此類推，則最一般的N量子比特寄存器的狀態便可以表示 $2^N$ 個十進位數字，當用量子門對他們操作時就相當於同時對 $2^N$ 個比特進行操作，這就構成了量子並行計算的基礎。

Quantum Gate

量子門說白點就是量子演化算符，所以它必須是幺正可逆的。在實驗中經常通過控制演化時間來達到量子態受Halmintian的時間演化。可以證明，任意量子邏輯操作都可以用由幾個單量子比特邏輯門和雙量子比特受控非門構成一組所謂的通用邏輯門組來實現。所以討論Hardamard門與受控非門即可。

Hadamard門可以表示為

Hadamard門示意圖

$egin{eqnarray} H|0 angle&=&frac{1}{sqrt{2}}(|0 angle+|1 angle)\ H|1 angle&=&frac{1}{sqrt{2}}(|0 angle-|1 angle) end{eqnarray}$

不難看出，若用Heisenberg Matrix以及Pauli Matrix表示為

$egin{eqnarray} H&=&frac{1}{sqrt{2}} left[egin{array}{cc} 1&1\ 1&-1 end{array} ight] \ &=&frac{1}{sqrt{2}}(sigma_++sigma_z) end{eqnarray}$

而Hadamard門的實驗實現也是容易的。

對於原子操作門的實現，我們需要用到一些原子與分子的知識，這裡暫時討論半經典單模電磁場與二能級原子相互作用模型。

單模腔電磁場對原子的態操控

當我們考慮Schr?dinger equation

$egin{equation} frac{partial}{partial t}| psi(t) angle=-frac{i}{hbar}H| psi(t) angle end{equation}$

令 $H=H_0+H_1$

以及時間演化方程

$egin{equation} |psi(t) angle=U(t) |psi(0) angle end{equation}$

定義態 $|psi_I angle$ 在相互作用表象下，即

$egin{equation} |psi_I(t) angle=U_0^dagger |psi(t) angle end{equation}$

其中 $U_0 =e^{-frac{i}{hbar}H_0t}$

$egin{equation} frac{partial}{partial t}| psi_I(t) angle=-frac{i}{hbar}V(t)| psi_I(t) angle end{equation}$

以及 $V(t)=U_0^dagger(t) H_1 U_0(t)$

定義

$egin{equation} | psi_I(t) angle=U_I(t) |psi_I(0) angle end{equation}$

結合Schr?dinger equation可以得到

$egin{equation} U_I(t)= Gamma e^{-frac{i}{hbar}int_{0}^{t}V( au)d au} end{equation}$

與前面式子做對比可得

$egin{equation} U(t)=U_0(t)U_I(t)U_0^dagger(0) end{equation}$

可以認為電場的形式為 $mathbf{E}=mathbf{E_0} cos(wt+phi)$

若 $|a angle$ 表示下能態， $|b angle$ 表示上能態

對於原子二能級系統我們可以認為Halmintian具有這樣的形式

$egin{equation} H=hbaromega_0 (|a angle langle a|+|b angle langle b|) +hbarOmega (|a angle langle b|+|b angle langle a|)cos(wt+phi) end{equation}$

其中 $Omega=emathbf{r}cdot mathbf{E_0}$ 稱作Rabi頻率

分成體系與相互作用Halmintian

$egin{equation} H_0=hbaromega_0(|a angle langle a|+|b angle langle b|) quad H_1= hbarOmega (|a angle langle b|+|b angle langle a|)cos(wt+phi) end{equation}$

由於二能級體系的完備性

$egin{equation} |a angle langle a|+|b angle langle b|=1 end{equation}$

利用旋轉波近似可以演繹出相互作用表象下的二能級體系

$egin{equation} V(t)=frac{1}{2}hbarOmega(|a angle langle b|e^{i(omega_0-omega-phi)t}+|b angle langle a| e^{-i(omega_0-omega-phi)t}) end{equation}$

考慮共振情況 $(omega_0-omega=0)$ ，

利用前面式子並限定初始條件 $|psi(0) angle=|a angle$ 可以解得

$egin{equation} |psi(t) angle=cos(frac{Omega}{2} t)|a angle-ie^{iphi}sin(frac{Omega}{2}t) |b angle end{equation}$

由此可知，當使得光場相位 $phi=frac{pi}{2}$ ，作用時間 $Omega t=frac{pi}{2}$ 時(稱 $frac{pi}{2}$ 脈衝)，有

$egin{equation} H|a angle=frac{1}{sqrt{2}}(|a angle+|b angle) end{equation}$

即讓二能級原子以一定速度拋射穿過限定寬度的光場，便等效於Hardamard門的作用。

受控非門是由兩個量子比特組成的邏輯門，其中一個量子比特稱為目標比特，另一個量子比特稱為控制比特。在量子操作後，控制比特的狀態不發生變化，而目標比特的狀態由控制比特決定，受控非門的一般形式可以寫成

$egin{equation} U_{C-NOT}|x angle|y angle=|x angle|mod_2(x+y) angle end{equation}$

受控非門示意圖

通過受控非門和Hadamard門可以實現Bell態的製備

$egin{eqnarray} U_{C-NOT}(H|0 angle)|0 angle&=&U_{C-NOT}frac{1}{sqrt{2}}(|0 angle+|1 angle)|0 angle=frac{1}{sqrt{2}}(|00 angle+|11 angle)\ U_{C-NOT}(H|0 angle)|1 angle&=&U_{C-NOT}frac{1}{sqrt{2}}(|0 angle+|1 angle)|1 angle=frac{1}{sqrt{2}}(|01 angle+|10 angle) end{eqnarray}$

這些量子門不僅可以通過操控原子的方法製備，也可以通過光學元件的組合對光子的數態進行操控來實現量子門。現階段由於原子本身難以保持其相干性，容易發生耗散衰變導致原子不能始終保持在二能級態上。1999年，奧地利Zeilinger小組利用SPDC及糾纏交換技術，第一次製備出三光子GHZ態 $^{[1]}$ 。 2001年，Knill,Laflamme和Milburn證明了採用線性光學配合輔助光子，利用單光子探測器選擇測量能實現普適量子計算。現在實現量子計算更多採用的是光量子門的方式。

Quantum Algorithm

量子演算法是體現量子計算優勢的重要途徑，是實現各種量子信息處理任務的鑰匙。由於大部分P和小部分NP-Complete問題可以由經典計算機解決，而量子計算優勢主要體現在並行性強的演算法上，典型的演算法有

Deutsch Algorithm
Deutsch-Jozsa Algorithm
Shor Algorithm
Grover Algorithm

直觀理解P-NP問題

其中可以說最重要也是最能代表量子計算的優越性的就是Shor Algorithm $^{[2]}$ ，它通過Quantum Fourier transform 來實現大數分解。正是因為Shor Algorithm 使得傳統信息公鑰系統輕易破解，也是這個演算法使得解決NP問題有了希望。

Shor量子演算法實現示意圖

而Groove演算法作為搜尋演算法在各方面都有應用，而量子疊加的

特性使得演算法能夠並行運算，更快得找到合適的解。

下面簡單介紹一下Deutsch Algorithm，體會一下

如果輸入態

$egin{equation} |psi_0 angle=|01 angle end{equation}$

將其送入Hadamard門去

$egin{equation} |psi_1 angle=left[ frac{|0 angle+|1 angle}{sqrt{2}} ight] left[ frac{|0 angle-|1 angle}{sqrt{2}} ight] end{equation}$

如果經過一個 $U_f$ 操作使得態 $|x angle(|0 angle-|1 angle)/sqrt{2}$ 變為 $(-1)^{f(x)}|x angle(|0 angle-|1 angle)/sqrt{2}$

這樣就會讓態變為這兩種情況

$egin{equation} |psi_2 angle=left{egin{array}{ll} pmleft[ frac{|0 angle+|1 angle}{sqrt{2}} ight] left[ frac{|0 angle-|1 angle}{sqrt{2}} ight] quad & extrm{if } f(0)=f(1)\ pmleft[ frac{|0 angle-|1 angle}{sqrt{2}} ight] left[ frac{|0 angle-|1 angle}{sqrt{2}} ight] quad & extrm{if } f(0) eq f(1) end{array} ight. end{equation}$

如果控制電路再經過Hadamard門可以得到

$egin{equation} |psi_3 angle=left{egin{array}{ll} pm|0 angleleft[ frac{|0 angle-|1 angle}{sqrt{2}} ight] quad & extrm{if } f(0)=f(1)\ pm|1 angle left[ frac{|0 angle-|1 angle}{sqrt{2}} ight] quad & extrm{if } f(0) eq f(1) end{array} ight. end{equation}$

總結一下

$egin{equation} |psi_3 angle=pm|f(0)oplus f(1) angleleft[ frac{|0 angle-|1 angle}{sqrt{2}} ight] end{equation}$

這說明了通過量子電路使得一個未知的操作函數的全局性質體現出來了，但我們只用了一次計算，沒有重複。綜上所示，量子計算的最大優越性就在於其並行運算的能力，但是要操控量子門是困難的，更多的便是錯誤率的大小，這會嚴重影響量子計算的效率，這是量子力學中不確定性原理所致，所以只能減少不能完全消除。現在很多課題組研究各種各樣的量子演算法實現方式有很大程度上都在提高量子計算的準確率。當然應運而生的量子糾錯也漸漸升溫。

系統學習這來

Reference

【1】Bouwmeester D, Pan J W, Daniell M, et al. Observation of three-photon Greenberger-Horne-Zeilinger entanglement [J]. Phys. Rev. Lett. , 1999, 82: 1345

【2】Shor P W. Polynomial-time algorithms for prime factorization and discrete logarithms on a quantum computer[J]. SIAM review, 1999, 41(2): 303-332.