路徑積分（二）圖像

02-14

傳播子 $K(q_{_{F}},T;q_{_{I}},0)=langle{q_{_{F}}}|e^{-iHT}|q_{_{I}} angle$ 在時空t—q圖中表示的物理意義是粒子從時空點 $(q_{I},0)$ 演化到時空點 $(q_{F},T)$ （均為位置本徵態）的概率幅。

t-x圖中不同的曲線代表了不同的x(t)，即不同的運動路徑，而量子力學中粒子運動是沒有確定路徑的，所以圖中箭頭為虛線。糾正（橫坐標是q）

在《路徑積分（一）公式》中推導路徑積分的思路是，將傳播子 $langle{q_{_{F}}}|e^{-iHT}|q_{_{I}} angle$ 中的 $T$ 分成無窮多個小時間段 $delta t$ ,然後瘋狂地插入坐標基底的完備性條件。具體來說，就是在每演化 $delta t$ 後做積分 $int dq$ ，這樣的物理意義是把演化了 $delta t$ 後的態，在各個位置的概率幅進行了疊加，如下圖（第一個 $delta t$ ）：

圖中的小箭頭應指遍各個q，圖比較不好畫。

到這裡為止，我們得到了 $int dq_{1}|q_1 anglelangle q_{1}|e^{-iHdelta t}|q_{_{I}} angle$ （很可能有誤，請大佬指出）。需指出， $q_i$ 的下標 $i$ 只是表示演化了 $i$ 個 $delta t$ 後的坐標變數，這個變數會在積分中遍歷每一個空間點，所以這不是一個點，只是為了區分不同時刻積分的變數所做的記號，如果沒什麼額外限制的話它們實際上是同一個東西。再演化一個 $delta t$ 後：

圖更加不好畫了，第一個 delta t上每一點q1都會散發出掃遍第二個delta t的q2的箭頭

在對各 $q_1$ 積分的基礎上，再對 $q_{2}$ 積分......

可以想像，這樣下去，最終我們的求和會遍歷連接初末兩點的各種可能的折線：

圖就隨便畫畫吧

再令 $delta t ightarrow0$ ，折線就變成了光滑路徑。

還是隨便畫畫

可見路徑積分 $K(q_{_{F}},T;q_{_{I}},0)=int D[q(t)]e^{iint_{0} ^{T} [frac{mdot{q}^2}{2}-V(q)]dt}$ 的意思，就是將初末兩點的各個可能的路徑所貢獻的概率幅全部加起來，我們就會得到從初始點演化到目標點的概率幅，並且可以看出每條路徑貢獻的概率幅大小相等，但是相位不相等，各路徑的相位就是這條路徑對應的經典作用量。

這不免會讓人聯想到電子的雙（多）縫干涉（見《費恩曼講義》第三卷，這也許就是為什麼這一卷書會以這個實驗為展開講述量子力學的基本原理吧。），以及經典力學中的最小作用量原理。