Note 1 K-G方程

03-06

在量子力學裡，我們知道薛定諤方程 $ifrac{partial}{partial t}varphi(vec x,t)=Hvarphi(vec r,t)$ ，但這個方程不滿足相對論因果關係。考慮這樣的一個關聯函數 $U(t)=langlevec x|e^{-i(hat{p}^2/2m)t}|vec x_0 angle$

對關聯函數插入這樣的完備關係 $int frac{d^3vec p}{(2pi)^3}|vec p anglelanglevec p|=1$ 可以得到：

$U(t)=intfrac{d^3 p}{(2pi)^3}langlevec x|e^{-i(hat{p}^2/2m)t}|vec p anglelanglevec p|vec x_0 angle\ =frac{1}{(2pi)^3} int d^3p e^{-i( extbf{p}^2/2m)t}cdot e^{ivec pcdot ( extbf x- extbf x_0)}\ =(frac{m}{2pi it})^{frac{3}{2}}e^{im( extbf x- extbf x_0)^2/2t}$

這是量子力學裡自由粒子的傳播子，在費曼寫的《量子力學的路徑積分》一書中有詳細討論。實際上我們做路徑積分計算，大多數都是轉化成高斯型積分來去計算。

在上面的公式里很顯然是不滿足狹義相對論因果關係的。比如考慮一個類空的間隔，這個傳播子並不是零，也就是說粒子可以在類空的間隔里傳播。這點顯然與相對論不符。1926年的春天，Oskar Klein 和 Walter Gordon為了描述電子的運動狀態，提出了相對論量子力學方程，K-G方程。

已知薛定諤方程的形式 $ifrac{partial}{partial t}varphi=Hvarphi$ ，兩邊繼續作用一遍 $ifrac{partial}{partial t}$ 可以得到：

$-frac{partial^2}{partial t^2}varphi=H^2varphi ag{1}$

利用相對論關係 $E_ extbf{p}^2= extbf p^2+m^2$ ，假設體系哈密頓就是 $sqrt{ extbf p^2+m^2}$ ，帶入 $(1)$ 可以得到：

$frac{partial^2}{partial t^2}varphi+(mathbf p^2+m^2)varphi=0 ag{2}$

考慮到坐標與動量正則量子化條件要求的 $mathbf p=-ifrac{partial}{partial x}$ ，寫成指標形式：

$(partial_mupartial^mu+m^2)varphi=0 ag{3}$

之前薛定諤方程兩邊再次對時間求偏導，從一個對時間一次偏導的方程變成了一個標準的波動方程。Klein和Gordon本來是想用這樣的手段找到一個描述電子的方程，但這個方存在著很大的問題。首先如經典量子力學裡的操作一樣，我們先考慮概率流密度。

考慮到K-G方程的拉格朗日形式，根據經典場的拉格朗日方程

$partial_mu(frac{partialmathcal L}{partial(partial_muphi)})-frac{partialmathcal L}{partial phi}=0$

容易構造出：

$mathcal L=|partial_muphi|^2-m^2|phi|^2$

我們考慮一個整體的變換 $phi ightarrow e^{ialpha}phi$ ，其無窮小形式為 $phi ightarrow e^{ialpha}phi=1+ialphaphi$ .與 $phi ightarrowphi+alphaDeltaphi$ 比較可以知道

$Deltaphi=iphi\ Deltaphi^*=-iphi^*$

根據諾特原理可得：

$j^mu=i[(partial_muphi^*)phi-phi^*(partial^muphi)] ag{4}$

根據之前定義的 $j^0$ ，可以得到：

$j^0=i[(partial_muphi^*)phi-(partial_muphi)phi^*]$

根據之前定義的守恆流，假設把 $j^0$ 看成波函數的概率密度 $ho$ ，則正好滿足概率守恆流方程，寫成三維形式則是：

$ho=i[(partial_muphi^*)phi-(partial_muphi)phi^*]$

$frac{partial ho}{partial t}+ ablacdot mathbf J=0$

其中 $mathbf J=i[( ablaphi^*)phi-( ablaphi)phi^*]$ .正好和經典量子力學一樣，但這樣存在一個問題，波函數概率密度並不是正定的，也就是說有些地方的概率密度分布是負的。這違背了概率規律，所以把 $j^0$ 認為是電子的概率密度是存在問題的。其次K-G方程因為是時間的二階導數，解這個方程需要知道兩個邊界條件才能確定解，相比薛定諤方程來，需要知道更多的條件了。這個額外的條件其實就是守恆荷。我們並不能把 $j^0$ 看成電子分布概率密度，甚至我們不能把 $phi$ 如經典量子力學一樣的看成概率密度幅。

考慮K-G場的關聯函數：

$U(t)=langle mathbf x|e^{-iH}|mathbf x_0 angle\ =frac{1}{(2pi)^3}int d^3p e^{-itsqrt{mathbf p^2+m^2}}e^{imathbf pcdot(mathbf x-mathbf x_0)}\ =frac{1}{2pi^2|mathbf x-mathbf x_0|}int^infty_0dp psin(p|mathbf x-mathbf x_0|)e^{-itsqrt{mathbf p^2+m^2}}$

我們考慮一個類空間隔，比如 $mathbf x^2gg t^2$ 的情況，這個積分近似可以寫成：

$U(t)sim e^{-msqrt{mathbf x^2-t^2}}$

儘管這個傳播振幅很小，並且很快的衰減掉了，但它的值不是嚴格非零的數，破壞掉了相對論因果關係。

現在有兩個問題：

1、K-G場是描述電子的運動方程嗎

2、在經典的關聯函數定義下，K-G場的因果律無法得到保證

需要進一步的理論來解釋這個問題：K-G場的正則量子化note 1.1

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[1] Sakurai, J. J. (1967). Advanced Quantum Mechanics. Addison Wesley. ISBN 0-201-06710-2.

[2] Greiner, W. (2000). Relativistic Quantum Mechanics. Wave Equations(3rd ed.). Springer Verlag. ISBN 3-5406-74578.

[3] Michael E.Peskin. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. ISBN 978-7-5-5062-7294-0.

[4] Matthew D. Schwartz. (2012). Quantum Field Theory and the Standard Model