NumPy中的維度(dimension)、軸(axis)、秩(rank)的含義

在學習NumPy的時候，其中最重要的就是學習它的 ndarray 對象，它是多維度的同數據類型的數組。這個和Python自帶的列表有較大的區別，列表中的元素類型是可以不相同的，如一個列表中，它可以包含數字、字元、字元串等，而在數組中，它的數據類型是相同的，如都是整型或者浮點型。

為什麼Python中已經有了列表之後，在NumPy中還要引進一個數組對象呢？有以下三點可以作為參考，但在本文中不做具體描述：

1. 數組對象可以去掉元素間運算所需的循環，使一維向量更像單個數據
2. 設置專門的數組對象，經過優化，可以提升這類應用的運算速度
3. 數組對象採用相同的數據類型，有助於節省運算和存儲空間

NumPy中有幾個概念比較繞，對於我來說比較難理解，因此以此文作為記錄。它們分別是：維度、軸、秩。

對於維度的介紹，官網是這麼寫的「 In NumPy dimensions are called axes」，即維度稱為軸。為了更直觀的理解，可以將其與現實世界聯繫起來，比如在平面中即二維的世界中，我們描述一個點的時候，通常使用 x 軸、y 軸，這樣就能確定一個點的具體位置了。因此，這裡的兩個維度，也就跟兩個軸對應了起來。如果是立體的三維世界中，我們就會多出一個z軸，以此更加準確的來反映點的位置。所以，我么可以把以上的維度和軸進行等價。

什麼是秩(rank)？它是指軸的數量，或者維度的數量，是一個標量

在下面的例子中，有一個數組 [1,2,1]， 它的維度是1，也就是有一個軸，這個軸的長度是3，而它的秩也為1。這些信息，都可以通過NumPy提供的數組屬性來獲得。

ndarray.ndim

the number of axes (dimensions) of the array

秩，數組軸的數量，或者維度的數量

ndarray.shape

the dimensions of the array. This is a tuple of integers indicating the size of the array in each dimension. For a matrix with n rows and m columns, shape will be (n,m). The length of the shape tuple is therefore the number of axes, ndim.

數組的維度。它的返回值是一個元組，這個元組描述了每個維度中數組的大小。相對於一個矩陣來說，shape表示的就是n行m列。這個元組的長度，等價於軸/維度的個數，即秩的值

依舊以下圖為例，我們已經知道數組a的維度數是1。查看它的shape，返回值為元組(3,) ，從這裡也可以反映出這個數組的基本形狀，即它是1維的，在這1維的空間中，擁有3個數據。

現在我們升級為一個2維的數組。如下圖中的數組b，從屬性 ndim 中可以知道，它的秩為2，即軸的個數是2，或者維度的數量是2（行和列兩個維度）。shape中反映出來的是，它是2行3列的一個矩陣。

當前軸的數量已經上升為2，那麼NumPy中是怎麼定義這個軸的方向的呢？在二維中，軸0表示了數組的行，軸1表示了數組的列，見下方的示意圖。因此，在該列中軸0的長度是2，軸1的長度是3。

如果我們把軸0上的數進行相加，可以得到一個一維數組，值為[5,7,9]，數組的元素個數為3。

如果我們把軸1上的數進行相加，也可以得到一個一維數組，但值為[6, 15]，數組的元素個數為2。

所以在不同軸上進行數據操作會得到不同的值，數組中的值是由沿軸方向上的數據相加所得。

現在，我們再升級一個維度，使其成為一個3維數組，如下所示。秩的值已經變為3，它的shape反映出它的軸0長度為2，軸1長度為2，軸2的長度為3。

軸0-軸2，他們具體是怎麼表現的呢？參見下面的圖示，從圖中可以看到，NumPy對於軸的編號由外向內，從行到列。

我們通過求和運算來驗證上面軸方向的猜測是否正確。

先計算軸0上的數值，從示意圖中看更像是，從表面到內部的一次「疊加」操作。這樣計算後的一個結果，應該是一個2行3列的一個數組，形狀如下：

[12, 14, 16]

[18, 20, 22]

再計算軸1上的數值，從示意圖中可以看出，這像是從上到下的一次「疊加」操作，計算後的值也是一個2行3列的新數組，形狀如下：

[5, 7, 9]

[25, 27, 29]

繼續計算軸2上的數值，這次像是一次「右移疊加」的操作，形成的結果是一個2行2列的新數組，形狀如下：

[6, 15]

[36, 45]

以下是運行結果，和我們的計算結果一致

對於3維及更高維度的數組，理解及計算起來比較複雜。因此，我們也可以採用降維的方法來進行計算，如果維度降到二維，那麼就非常便於我們的理解，簡單的說就是「替換、降維打擊」。

依舊以上面的三維數組c為例，我們只關心最外層的兩個維度，將最內層維度的數據看成一個整體。

轉化後的形狀就如下圖所示，這時我們計算軸0就等於計算 A+C，B+D；計算軸1就等於計算 A + B，C + D

運行結果如下所示

軸2要怎麼計算呢？由於我們上面已經將最內層的數組看成了一個整體，如圖所示。所以，我們計算軸2，就等同於對數組 A、B、C、D進行分別求和

參考：

1， https://deepage.net/features/numpy-axis.html

2，https://flat2010.github.io/2017/05/31/Numpy%E6%95%B0%E7%BB%84%E8%A7%A3%E6%83%91/

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