26、量子世界中拉普拉斯之妖的重生

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那麼我們現在可以再來看看，「概率」到底是個什麼東東，以及人們現在對它的理解到底有哪些不同的方向。

概率就是，我們前面說過，我們對一個事件的「可能性」的定量描述。這個說法雖然看起來很合理，但是它作為一個定義，還是嫌太模糊不清了。更有甚者，即使是作為一個大體的描述，它也並不顯而易見，很多人並不同意這種說法。

• 首先，什麼是「可能性」？
• 其次，我們又如何對「可能性」來定量？

對此有很多種不同的說法，如果把這些一一列舉，這將是一個非常巨大的話題，恐怕沒有200頁是講不完的，我這裡我這裡僅用最簡的語言挑幾個有代表性的觀點。基本上，它們可以分為兩大類：一類是主觀概率，認為概率是我們在主觀上對事物認知的缺失或對事件發生的信心；另一類是客觀概率，認為概率是屬於外部世界本身的性質。

首先我們來看看「經典」的概率詮釋。在我們的第一部分中，有一段拉普拉斯的引言（關於拉普拉斯之妖），這包含了拉普拉斯最早對概率一種哲學觀。在這種思想背景下，並不存在所謂的「可能性」 – 一件事要麼發生，要麼不發生，不存在「可能發生」的情況。但是對我們有限的信息而言，我們並不能完全確知這些事件的發生情況。在我們的信息範圍之外，我們是完全無知的。那麼我們就被迫用有限的、支離破碎的信息來判斷某個事件能否發生 – 我們就沒辦法做到完全肯定。於是，我們就只好退一步，來談論「可能性」。也就是說，在經典的概率理論中，可能性表示的是我們對完全確定事件的無知程度，而概率，則是我們指定的某種對這種無知程度的定量度量。

那麼，我們通過什麼樣的規則來指定這種定量度量呢？就是經典概率的一個原理，叫做「無差別原理」（Principle of Indifference），這個原理簡單來講，就是：

如果對若干個可能的事件，沒有任何證據更加偏向其中一方，那麼，它們的概率是相等的。

比如說一個骰子，它有6個面，我們知道它落下時必然會有一個面向上。但是在我們不知道我們投出它時的精確的力度、高度、角度的情況下，每個面向上的證據對我們是「同等不確定」的，因而我們必須認定，所有的面向上的概率都是相等的。

經典概率的一切，基本上就是基於這個原理推出來的。

但是這種經典概率有著它的漏洞。所謂的沒有偏向一方的證據，要麼是對任何情況都完全無知，要麼是完全對稱的證據，這兩者都有著難以自洽的地方。

對於我們完全無知的兩個事件，我們可以用不同的方式來看待這種不可區分性，並且他們之間不相容：比如說所謂的Bertrand悖論。這個悖論是這麼說的[1]，如果一個工廠專門生產一種骰子，它的邊長可以從0到1之間變化，對此我們毫不知情。那麼從這個工廠的產品中我們隨機取一個出來，它的邊長小於0.5的概率應該是多少？根據無差別原理，在我們完全無知的情況下，邊長小於0.5和大於0.5應該是等概率的，那麼這個概率是50%。但是，如果我們問，我們隨機取出的這個產品的一個面的面積小於1/4的概率是多少？同樣根據無差別原理，我們對各自可能的面積也是完全無知的，那麼面積小於1/4的概率就應該是25%。同理，我們也可以說體積小於1/8的概率是12.5%。那麼同樣的一個產品，為何會有不同的概率？

這裡的問題就在於，對於完全無知的情況，「邊長大於0.5」和「邊長小於0.5」兩個事件；以及「體積大於0.5」和「體積小於0.5」這兩個事件，按照無差別原理，它們都應該是等概率的。但是，顯然這兩者是是相互衝突的。

那麼如果我們按照對稱性來考慮呢？我們把無差別原理看作是一種對稱性的描述。這就涉及到了我們對證據的「證明力」的一種權重指定：一種偏向某一個特定的事件的證據，如何確定其重要性？在對證據的權重指定的過程中，其實已經暗含了對可能性的一種權重指定了。因而它就難逃循環論證的指責。

對經典概率還有一種不安，就是它表達的是人們的「無知程度」，這看起來多少有些主觀的意思。當然，拉普拉斯對此辯稱，一旦確知了我們對初始條件的認知精度，這就是一個確定的客觀概念。當然，這仍然不會消除「主觀性」的影響。就像我們前面章節討論的，如果一個機器可以很好地控制拋硬幣的力度，那麼硬幣落地的狀態是可以精確確定的，概率將毫無用武之地。在「拋硬幣機」看來，硬幣的概率顯然和肉眼不同：它並非僅僅是事件本身的性質。

「主觀性有那麼可怕嗎？難道不同的人對一個事件發生的概率不應該有所不同嗎？」有人站出來問。沒錯，這些人對概率的詮釋就是主觀的。它們的代表就是大名鼎鼎的貝葉斯概率。貝葉斯概率認為，一個事件的概率並非是隨機事件本身的客觀性質，而是人們對事件發生可能性的主觀信心程度。例如，當我們拿到一枚硬幣時，我們可以問，我把它拋出去它正面向上的概率是多少？我可以根據自己的猜想，假定它有一個概率，這個概率不是別的，而是我對「硬幣正面向上」的信心，是一個主觀的東西。但是，我的主觀信心是隨著我獲取的信息量增多不斷變化的。比如說，我認為硬幣正面向上的概率是50%，但是我做了一個試驗，發現它果然正面向上，那麼這時我的信心就增加了一點，比50%更大。如果我第二次試驗發現又向上，那麼我的信心更大，我認為硬幣正面向上的概率就更高。但是隨著試驗次數的增多，我發現有時候出現正面，我的信心相應上調，有時候出現反面，那麼我們就相應地調低我們的信心。每一次試驗，我們對它的指定的概率都會有所變化，因為我們的信心都建築在前面又多了一次試驗結果的基礎上。如此大量試驗完成後，我們對下一次拋硬幣所指定的概率就根據前面所有試驗結果來確定。

概率的主觀詮釋很好地消除了經典概率的一些邏輯上的bug，並且，它的概率更新的方法在統計學中獲得了巨大的成功。隨著今年的AI技術和大數據的興起，貝葉斯統計更加在深度學習和數據處理方面大顯身手。

很多人對它的詮釋感覺不爽的是，它把數學理論歸結為某個主體的主觀信心。難道數學不應該是確定的、跟誰在用它毫無關係嗎？在整個數學理論中，還有哪一個理論會被認為是主觀的度量？ 如果說一個事件的概率是隨著每個關注著的主觀而變化的，那麼，豈不是每個人都會有一個概率？那麼作為概率理論的公理體系、整個概率的計算方法又有何用？

這的確是一個躲不過去的問題。對此，主觀詮釋者這樣解釋：概率，是一個「理性人」對隨機事件的信心程度。可以證明，如果我們不按照概率理論計算一個事件的概率，那麼，人們總是可以根據我們的主觀概率規則，建立起一套博彩機制，讓我們不可能贏（所謂的「Dutch Book 問題」）。所以說，現有的數學理論是唯一一個可以免於我們總是輸錢的考慮方式：概率理論是對「機會」做出評估的、唯一一種自洽的理性思維模式。

這樣一來，如果我們認為一個人的主觀信念滿足概率理論，那麼從數學上很容易推出，貝葉斯概率就會要求，這個人在邏輯上永遠不會犯錯誤。一個永不犯錯的主觀信念 – 說到底，一個絕對的「理性人」 – 怎麼可能？對於這種絕對理性的主觀信念，它和一個客觀性質有何區別？

主觀概率的一個核心問題，就是一個人的主觀信念如何與外部事件自身的「機會」相關聯。不論我們的主觀如何評估一件事的可能性，我們總歸是對這件事做出某種機會判斷，因而主觀概率必須在某種程度上體現外部事件的客觀傾向，否則這種主觀概率毫無用處 – 除非我們徹底否定外部客觀世界的存在。對於這種「主觀信念」和「客觀機會」之間的關係，David Lewis曾經提出所謂的「Principal Principle」[2]，基於此在數學上彌合主客觀概率。這個原理（大概）說：

「對未來某機會事件的信心，等於我們已知的該事件的機會，除非有了更新的信息應該被我們考慮。」

也就是說，作為一個理性人，他對一個事件的概率的主觀指定，應該等於已知的該事件的客觀概率。然後根據事件的新信息不斷更新我們的認知。這反映出，在事實上，貝葉斯概率並非等同於主觀概率 – 我們仍然有主觀貝葉斯和客觀貝葉斯兩種詮釋。純正的主觀概率信奉者相對比較小眾。

另外一派人說，對一個隨機事件而言，概率必須是一個客觀的、屬於事件本身的性質。這個性質就是：如果我們完全重複這個事件，它發生的結果每次都會可能有所不同，但是如果我們重複它很多次，我們會發現，某種特定的結果發生的頻率（它出現的次數與所有試驗次數的比值）就會漸趨穩定。在做這個拋硬幣實驗時，當你拋出次數很少的時候，你幾乎找不到任何規律，正面還是反面朝上每次都完全不可預測，但是這個硬幣不停地拋出時，漸漸地規律出來了：似乎正面出現的次數和反面出現的次數很接近，大約一半時間是正面朝上，而另一半時間是反面朝上。並且實驗次數越多，它們就越接近。比如說，你拋了1000次，大約500次是正面，500次是反面。於是，人們就假定，如果我們後面再拋1000次，我們仍然會有500次左右正面，500次左右反面。如果我們重複無窮多次，那麼，這個相對頻率就會是一個確定值，這個確定值就是概率。這個叫做「大數定律」。

這種說法認為，概率就是一個隨機事件在大量重複中，它所出現的相對頻率。因而這種詮釋又被稱為「頻率派」。頻率派顯然是一種客觀概率詮釋，它不依賴於隨便一個人的主觀印象。但是這裡也有很大的問題，首先我們想到的是，「無窮多次」？什麼鬼？！按照這種說法，我們永遠都不可能真正做出一個定義。其次，「完全重複」？我們理論上不可能完全重複同一個事件，它的初始條件必然是不可能相同的。

你可以說，我們實際操作中，並不見得真的要做到「無窮多次」，只要是次數足夠多，也不見得完全重複，足夠相似就可以了，這樣我們就知道足夠精確的概率了。比如說在上面的例子中，我們只需要拋出1000次硬幣，就可以基本上斷言正面向上的概率為50%。

那麼，你怎麼知道，這1000次的試驗結果是可靠的呢？既然是隨機事件，你怎麼就知道從1000次開始，後面不會連續1000次拋出正面？

「你這是在抬杠，連續1000次正面，那樣太不可能啦！」你可能這樣分辯。

但是等等！你是在說，連續1000次試驗，正面向上的相對頻率「很可能」，或者說「非常非常非常可能」是50%嗎？請記住，我們在試圖用相對頻率來定義可能性，在這個時候，你是不能使用「很可能」這樣的詞語的，因為它還沒有被定義！你等於在說：

「硬幣正面向上的概率在很大概率上是50%」

這是在循環論證！

對此，人們發現，很難通過這種相對頻率的方式來解決對概率的詮釋問題。沒錯，在操作上，頻率派是一種非常方便的做法：我們在判斷一個事件的概率時，只需要做大量實驗，然後在看它的出現頻率就可以了。但是，它無法回答「概率是什麼」這種問題，從概念上，它很難給出一種自洽的概率定義。

人們進而提出了另外一種概率的詮釋，就是「物理傾向性」，或者是「概率本性」。也就是說，概率代表的是事件本身的一種特性：它相反於拉普拉斯的概率 – 這是一種對確定事件的無知性 – 而是把事件的隨機性看作是一種真實的內稟性質 – 我們可以稱為「真?概率」。或者說，它就是隨機事件產生某種結果的「傾向性」，正是這種傾向性，導致了大數定律：雖然隨機，但是大量重複的相對頻率趨向於穩定。

顯然這種詮釋並不解決問題，它把一切問題集中到了這種「傾向性」上面去了。這種「傾向性」消除了頻率派的邏輯困難，也帶來了自身的問題，就是這種「傾向性」又是如何定義的呢？對於一個單一的隨機事件，「傾向性」肯定不可能被直接觀察到，因為人們只能觀察到確定的結果，而不可能觀察到「可能性」。因而這種「傾向性」難以確切定義。持「傾向性」觀點的人們辯稱，很多東西都無法確切定義，但是我們不能無限制地窮究下去 – 必須有一個「原生的」定義。這個原生定義就是概率。

這樣一來，物理傾向性的概率定義就不能算是一種定義，它是模糊的。從操作層面上，人們仍然必須通過大量實驗的相對頻率來確定這種「傾向性」。所以操作上它和頻率論沒有可辨的區別。

我們列舉的這幾種不同的關於概率的詮釋，各有其道理，然而各有其問題。這些詮釋到現在為止和量子力學還都沒有什麼關係，是屬於概率這個概念本身的問題。關於概率的詮釋還有很多種，這裡不一一列舉。我們可以看到，每一種詮釋都看起來非常有道理，但是同時它們又各自有著自身的漏洞或不完美的地方。它們其實在很多情況下並不能得出相互一致的結論。

所以說，概率詮釋的問題，並非量子力學自身的問題，至少不全是。前面提到的多世界理論和退相干理論的三大問題中最棘手的「輸出值」問題，本身就是一種對概率的詮釋問題。人們對它的一籌莫展，其實並不能完全怪在多世界理論頭上，它很大程度上起源於概率這個數學概念本身。即使是在哥本哈根詮釋中，它也是問題重重。

我這裡不想再重複哥本哈根學派的全部基本理念，只是要強調一點，玻恩規則 – 事件發生的概率是它概率幅的平方 – 是哥本哈根學派的一個基本假設，它是整個理論框架的基石之一，它不需要推導，也不需要解釋，因為它很任性地天然真。

根據我們前面所提到的概率的各種詮釋，這裡，哥本哈根的概率似乎非常適合概率的物理傾向性詮釋，即所謂的「真?概率」。因為在它看來，世界本身就不是決定論的，而是內稟隨機的。不但我們不可能準確預言下一刻將發生什麼，而且下一刻發生什麼本身就是不確定的：我們只能預測它「可能」發生什麼，而且整個自然界也只能知道它「可能」發生什麼。而玻恩規則給了這種「可能性」一個定量的度量。

我們前面曾經提到過，概率的傾向性詮釋有著自身的問題，就是這種「傾向性」沒有辦法嚴格定義。玻恩規則的出現，另很多人感到很興奮，因為終於，我們的真?概率有了一個嚴格的定義！真概率是什麼？就是玻恩規則從數學上所鎖定的那個數值。因此，哥本哈根詮釋似乎是可以把「概率」這件事說圓了。有了哥本哈根詮釋，真概率這個概念就有了堅強的背書。但是如果我們仔細推敲，卻發現它不那麼圓滿。

首先， 「傾向性概率」本身的問題是個概念問題，它沒有辦法通過玻恩規則來解決。沒錯，玻恩規則給了這種概率一個定量化的度量，但是它並不能給出這個概率的概念化定義。事實上，玻恩規則從操作層面所斷言的，是大量的量子事件的相對頻率，至於它是不是一個量子事件的「傾向性」，或者說，是不是真?概率，我們無從確認。因為說到底，對於一個單一的隨機事件，「傾向性」是不可能被直接觀察到的，因為人們要麼觀察到它發生，要麼觀察到它不發生，無論如何都只能是確定的結果，而「可能性」，必須通過大量事件來推論。從這點而言，玻恩概率操作上和頻率論的概率沒有可辨的區別。與其說玻恩規則給了傾向性概率一種背書，還不如反過來：正是因為我們有了「真?概率」這種概念，玻恩規則的數學結果才有了背書。

其次，我們必須要知道，嚴格講玻恩概率講的其實並不是粒子本身的性質：粒子本身的運動「傾向性」或「隨機性」，而是在講觀察行為所產生的結果的一種性質。而觀察過程就涉及到了觀察者和粒子兩者之間的複雜作用。哥本哈根詮釋一再強調，在沒有進行觀察的時候，粒子的「真實的」狀態毫無意義，因而脫離開觀察而談論概率就毫無意義[3]。因而這個概率就不可能是粒子自身的性質。那麼我們就回到了「觀察」這個神秘事件本身了。玻恩規則所涉及的「真?概率」，到底是粒子的性質？觀察過程的性質？還是兩者混合的性質？就無法說清楚。但是如果我們對這個不能清晰地完成分析，我們就無法斷言粒子的「真?概率」。因而，把玻恩規則歸結為粒子自身具有的內稟隨機性是有很大問題的。

對此，一種把哥本哈根詮釋向著極致化[4]引申的理論出現了。這種觀點繼承了波函數的認識論詮釋並將之推向更遠。它直接斷言，薛定諤方程所描述的，不是物理現實，而是我們對物理現實的認識信念，因而量子概率就是主觀概率，這個，叫做「量子貝葉斯主義（QBism）」。在它看來量子力學是一種純粹的認識論（epistemological）理論，而不是本體論（ontological）理論。也就是說，它描述的不是現實，而是「我」的認知狀態 - 我對事件的信心（beliefs）。這是一種純粹主觀的、個人化的概念。所謂的客觀概率是不存在的，玻恩規則不過是把主觀概率應用到了量子力學中去了而已，波函數坍縮只不過就是貝葉斯概率中的信息更新而已。那麼現實是什麼？QBism對此毫不關心。甚至說，由於主觀概率涵蓋了量子力學的一切，這個世界上基本上就沒有所謂的「客觀存在」。

這類理論，我們可以想像，是一種極具個性的、評價兩極分化的理論。這就基本上註定了它的小眾化，不可能獲得主流物理學界的認同。很多物理學家對它的興起很關注，並且承認它的確給物理學帶來了一些不一樣的洞見，但是絕大多數物理學家同時認為，它對粒子的概率行為的解釋完全不令人信服。比如說，一個粒子的在某個時間段內有50%的概率會發生衰變，我們說的是這個粒子自身的性質 – 半衰期，而很難令人相信這只是我們對粒子的主觀看法。要知道，我們製造的原子彈的基礎就是這種理論，如果它只是人們的一種主觀印象，那將是一種多麼令人毛骨悚然啊。

對這種看法，Wallace很不客氣地直斥其為「極端的工具主義」。並且，量子力學的預言可以很好地符合各類（近乎無窮多次的）實驗結果，這中間所表現出來的客觀性很難讓人認同它們不過都是「個人信念」。如果這中客觀性真的只是一種幻覺，那麼量子力學對人們的信心的描述達到了一種令人髮指的精確程度 – 這怎麼可能？量子貝葉斯如何與客觀經驗相容的問題是難以迴避的。

那麼，現在我們來看看多世界理論中對概率的看法。事實上，在Wallace看來，多世界理論對概率的詮釋並不比概率本身的詮釋麻煩多，相反地，它能夠給出更加自洽、合理的概率詮釋 – 這其實是多世界理論的一個巨大優勢。我們可以看看他的信心來自何處。

有一點是可以肯定的：在多世界看來，「真?概率」是沒有存在的意義的，概率必然是某種幻覺。既然一切可能的事件在各個「世界」中全部發生了，那麼事件本身不存在任何不確定性，存在不確定性的，是「我」最終發現「自己」位於哪一個「世界」。那麼，概率其實就是「我」在這個複雜的世界樹中的自我定位問題（self-allocation）。但是現在問題來了，既然多世界理論宣稱所有的「世界」（波函數分支）都是同等真實的，那麼從頻率派看來，它就會與玻恩規則產生矛盾。

我們仍然以薛定諤貓為例來說明。例如說，某個試驗最終演化成為這樣一個狀態（我們省略細節）：

那麼，根據玻恩規則，我們知道，當我們觀察貓的時候，我們有a^2的概率發現貓死，b^2的概率發現貓活。而在多世界理論中，世界A和世界B同等真實，那麼根據無差別原理，它們應該有著相同的概率才對，也就是說，我們應該有50%的概率發現自己位於世界A中，發現死貓，而有50%的概率發現自己位於世界B中，發現活貓 - 這明顯與玻恩規則不相容。

而玻恩規則是一個已經驗證的結果，多世界理論在拋棄它的同時，必須要提出一種機制來把它變成自己理論的自然推論。如果不相容，那麼就不是理論瑕疵的問題，而是理論顛覆的問題了。所以說，前面提到的量子-經典三大問題中，最難纏的「輸出值問題」的核心就在此。

Everett本人在提出多世界理論的博士論文中，就以一種簡化的過程從薛定諤方程推導出了玻恩規則，然而他提出了一些額外的假設，這些假設被後人嚴格檢查後，發現其實已經隱含了玻恩規則在裡面了。後來人們給出了一波又一波的解釋，到現在為止，已經有很多種理論來導出玻恩規則了。對此人們仍然在爭論當中。當然，近十幾年中這個領域進展神速，有幾個理論研究初露崢嶸。

首先，我們說一下頻率派概率。頻率概率的基本原則是，概率就是大量（無窮多？）事件中我們所關注的事件發生的相對頻率。對世界而言，就是多個世界中特定「分支」的相對個數。例如說，我們想要觀察某一個事件E發生的概率。在觀察過程中，系統「分裂」成為多個平行的分支，在某些分支世界中，E發生了，而在另一些中E沒有發生。我們把這些分支數一數（branch counting，或者叫分支計數）那麼那些包括了「E發生了」的分支的數目，占所有分支數目的百分比，就是A發生的概率。

在前面例子中，人們可以解釋說 A和B兩個世界在概率上是不等價的，因為它們的「係數」a和b（也就是概率幅）不相等，它們的概率應該與a和b有關，在考慮時應該附加上這個係數作為權重。根據玻恩規則，這個權重分別是它們的平方。也就是說，我們也像哥本哈根詮釋一樣，把玻恩規則作為一個天然真的前提 – 我們不過是附加了一個假設而已，即使是這樣，多世界理論仍然比哥本哈根理論簡潔。

但是這樣做嚴重違背了多世界理論的初衷：創建一個自然相容的、純幺正的理論。如果我們附加了玻恩規則作為假設，不但增加了理論的複雜度，而且會帶來相容性的問題：如果這個權重是概率性的，那麼純幺正的演化規則和概率性假設是無法同處一個房檐下的；如果這個權重不是概率性的，那麼它又是如何與概率掛鉤的？這對哥本哈根學派並不是那麼嚴重，因為哥本哈根的演化規則本身包含了一個非決定論的坍縮。也就是說，如果我們在操作上，必須採用這種「權重」的處理手法，我們也必須要找出一種關於這種權重的合理解釋。

一種理論認為，所有這些都與退相干的過程相關。我們前面曾經提到過，一個整體的波函數在退相干的過程中，那些非定域的性質會迅速擴散到環境中去從而消失無蹤，保留下來的都是可觀測到的經典「分支」。我們應該注意，退相干過程所導致的，是一種波函數的近似分支：1、退相干的過程很迅速，大約在10^-20秒就基本完成了，但是，快歸快，它並非瞬間發生的；2、非經典狀態迅速消失，但是並沒有完全消失，它們只是在極短的時間內變得小到可以忽略而已。從觀察的角度，世界在級短的時間內就幾乎完全分支了；但是理論上，這些非經典狀態永遠存在，退相干過程是個連續過程 – 也就是說它永遠不會結束。每個分支的世界並非嚴格的一個「細粒化」世界，而是由與這個世界很相似的一系列「臨近分支」的「粗粒化」世界混合而成。

也就是說，現實中（FAPP）我們所觀察到的這個世界不是嚴格的一個世界分支，而是一組由很多個非常非常接近的分支的混合。我們可以分辨的任何一個世界，都是一個個粗粒世界 – 它們由多個真實的世界分支組合構成的。每一個粗粒世界包含的真實分支數目，也就是他的「粗細」。而這種粗細恰恰就是這個分支的概率權重，就代表了我們一個粗粒現實所包含的分支數目。我們考慮每個世界的「粗細」，恰好就可以推導出玻恩規則。

這種從FAPP出發的，粗粒化世界的概率權重，就是每個波函數分支的相對頻率，因而我們得到的，就是一種頻率化的概率結果。說到底，這種理論指定了一種「分支計數」的規則：那些「相近」的分支因為在實際中無法區分而被分組成為某種粗粒化的世界，而那些因為退相干而「幾乎消失」的分支則被忽略掉。按照Robin Hanson[5]的說法，就是「小世界」在與「大世界」的相互作用中「消失」（mangled）掉了。但從理論上講，它仍然有很多令人詬病的地方。

而真正里影響力比較大的理論，是近十幾年出現的，一種是以Deutsch和Wallace主導的，基於決策論的推導方法，另一種是以Zurek和Carroll主導的，基於量子對稱的方法。我們一一道來。

我們先來看看Deutsch應用決策論得出的結論[6]。決策論是一個主要研究我們的決策怎樣影響我們獲得的價值、以及我們如何決策才能獲得最優利益的理論。你也可以把它看作是一個人如何理性看待概率的理論。用決策論的視角，我們可以把一切量子事件看作是博彩遊戲[7]。要知道，概率論的起源就是來自博彩業，一個博彩的預期回報，就是這個博彩的隨機結果的概率預期，因而博彩的結果本身就體現了概率的本性。

比如說，我們用一個量子事件製作一個博彩遊戲機。例如說我們可以用一個分光鏡來實現這一的博彩：一束激光射向這一一種半透的反光鏡，這束光有一定的概率直接透過它，一定的概率會被反射。然後，我們發射一個光子，檢查光子最終到達了標尺的哪一個位置，由此來確定我們的回報。如果我們發現光子到達了x1，我們就得到x1元錢，反之我們就得到x2元錢。

我們可以來估算一下我們在這個遊戲中可以得到的收穫 – 用決策論的術語，也就是這個遊戲的價值。

現在我們可以通過調整刻度尺的位置來改變這個博彩的賭注 – 也就是它的價值。不論如何改變這個博彩的價值，我們從決策論的公理中可以知道，有幾個規則是必然成立的：

1、如果把我們遊戲者和遊戲的莊家身份調換，那麼對我們而言遊戲的價值就必須成為他的相反數。這很容易理解：如果原來這個遊戲規則下，我們會贏得某些價值，那麼把原來遊戲規則的全部「輸」和「贏」反過來，總的說我們就會輸掉同樣的價值。我們可以想像這種情況就是對於零和遊戲，原本贏多少的，現在當然就會輸多少。

2、如果對遊戲的每一個結果，原來的回報都加上一個固定的價值k（想像一下我們把標尺平移一下），整個遊戲的價值就要增加k。這個也很容易理解：因為每個可能回報都增加了k，而我們只能得到一種可能，當然總的回報就會增加k。

那麼根據這兩條公理，我們就可以計算這個遊戲的價值了。整個數學過程我們這裡就省略掉了，計算的結果恰恰就是波恩規則。什麼意思呢？決策論告訴我們，作為一個理性的遊戲參與者，我們的一切選擇，就必須認為這個量子事件好像是滿足玻恩規則一樣。

這個過程中，我們僅僅需要的假設就是決策論的兩個公理能夠成立 – 這幾乎是顯而易見的。雖說整個過程中，我們並沒有用到「概率」這個概念 – 概率是什麼並不重要。但是，從結果上看，整個過程等效於存在一個滿足玻恩規則的概率。至於是否真的存在這個概率，以及它是否「真的」滿足玻恩規則，這不重要。理性決策者盡可以認為真的存在滿足玻恩規則的概率。根據Principal Principle，這就是主觀概率和客觀概率之間的等價性。

決策論的方法並沒有直接回答「概率」是什麼，但是它的分析顯示，從表象上看，我們完全不妨認為存在專業一種叫做概率的東東。

現在，我們再來看看Zurek的關於量子對稱性的論證方法[8]。秉承了退相干理論一脈相承的思路，他仍然是從量子糾纏以及系統與環境的關係來論證的。他發現，量子系統中由於量子糾纏的存在，有一種非常獨特的性質，人們即使是對系統整體全知全解，仍然會對局部一無所知。

這在經典系統中是不可思議的。在經典世界中，對一個系統的全知必然意味著對系統的每一部分的全知：比如說你不知道你們班一個同學的名字，你當然就不能說你認識了全班的每一個人。但是在量子系統中這個邏輯卻崩潰了。就好像是你們班的同學在一起的時候，你都認識，但是一旦把他們分開，你卻發現一個都不認識了。我們前面提到過好幾次，量子系統中整體≠每個部分的加和。或者這樣說，糾纏系統是一個不可分的系統，因而嚴格上是不存在所謂的「系統的每個部分」這種東東的 – 系統沒有「每個部分」。而我們把宇宙劃分成為系統、環境、以及「我」這幾個部分，就必然導致了對系統整體信息的拋棄 – 即使是你完全知道這些信息，你仍然不得不拋棄它。

我們前面說過量子系統的非定域性。但是，多世界理論是一個嚴格的定域性理論。貝爾定理所說的定域性隱變數不存在，其實有一個隱含前提，那就是「單一結果的隱變數」。而多世界是一個多結果並存的理論，並不違背貝爾定理。事實上，我們所說的非定域性，其實是量子態本身的非定域，而絕非相互作用的非定域。

那麼，Zurek說，一個量子系統，它可以有「廣域性質」和「局域性質」。所謂的廣域性質，就是這個系統的整體波函數，一個態矢量。對這個系統而言，它描述了系統的所有信息。而局域性質，這是那些我們對系統的一個局部所指定的性質。一個很合理的假設就是，系統的局域性質只取決於我們觀察的局部範圍：我們觀察一個粒子的結果，不會受到遠處事件的影響。然後，他發現，系統的局域性質存在著一種特殊的對稱性，所謂的「環境干預對稱性」[9]（「Environment Assisted Invariance」，或者叫「Envariance」），這種對稱性告訴我們，一個對整體全知的觀察者，對局部卻無法獲得確定的認知。

這是一種基於經典概率的詮釋：對稱性導致等概率。說到底，這其實說明的是我們的觀察（相互作用）的局域性與量子系統的廣域整體性之間的矛盾所導致的。整個過程中我們一直保持著對系統+環境整體的全知，而沒有任何經典概率的「無知」在裡面，但是仍然，對局部的無知就這麼發生了。

我們可以看到，前面從相對頻率、主觀概率、以及經典概率三個角度，我們對多世界理論的終極問題「輸出值問題」做出了不同的闡述。但是，這裡仍然有一個問題，那就是，假設說上述論證都是有效的[10]，我們證明了玻恩規則的成立，但是並沒有明確說明概率到底是如何產生的。比如說，相對頻率中，為何分支計數的相對數目就對應了概率？決策論中，一個主觀概率，並不能說明不確定性到底是如何發生的？而在量子對稱性中，我們可以看到，如果系統可以用概率描述，那麼它必然滿足玻恩規則，但是為何系統可以用概率描述？說到根本上，多世界理論仍然是絕對的決定論啊。

總而言之，下面這個問題

「這個世界中某事件發生的概率有多大？」

是「正統」量子力學所問的問題。然而在多世界理論中，這個問題就變成了：

「在所有的一個世界分支上，哪一個我才是『我』？」

這是個自定位（self-allocation）的問題，我們可以進一步引申，它就變成了：

「在近乎無窮多個意識分支中，我將會如何定義我自己？」

這就變成了一個自定義的問題。

「我」這個字，可能是我們日常中最常用的字之一，但是我們平時基本上沒有注意到過，說到底它包含了一個終極哲學秘密：自我定義。自我定義註定是邏輯不完美的，因而我們的世界註定是概率性的。

那麼我們回來看看第一部分最開始的話題，拉普拉斯之妖。從多世界理論出發，沒錯，在處於宇宙之外的全知的拉普拉斯之妖看來，世界是決定論的，一切都是註定的。但是，對於那些唯一宇宙之中的、無時無刻不在與宇宙發生糾纏的「檻內人」 - 我們 - 看來，未來是完全不確定的，有無窮多種可能性。在量子力學中，拉普拉斯之妖確實有它的生存空間，但是它卻對我們毫無用處，因為它無法與我們發生因果關係 – 這將導致它陷入糾纏的宇宙中而失去全知能力。

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[1] Bertrand悖論有更加嚴格和更加「數學」的表述，這裡就不過於展開來說了。

[2] 這個原理相對翻譯起來有些困難。其中，「Principal」意指「原生的」、「根本的」、或「大佬」之類，我想我可以暫且稱之為「原生原理」

[3] 事實上，真?概率如果真的是量子事件的內稟屬性，那麼我們從邏輯上必然會導致脫離觀察的粒子不存在確定的真實狀態這個結論。即使是拋開貝爾定理這個實證的判定，單純從概念上，粒子的真實狀態就無法自洽。 -- 如果我們承認粒子存在真實的狀態，那麼立刻，這種真?概率就被還原成為經典的「無知」概率了。更加嚴重的是，如果我們認為粒子隨時都存在著「真實的」狀態的話，對於一個完全連續的時間線中，連續演化的概率分布（薛定諤方程）、同時伴隨著不連續的真?隨機運動，這種「真概率」會吧芝諾的「飛矢不動」悖論中的矛盾極端放大。

[4] 有人傾向於把量子貝葉斯劃為獨立的一類詮釋，但事實上，它起源於哥本哈根詮釋，並且把後者的一些模糊的（或者是故意迴避的）問題給出了一種沿著哥本哈根道路走向更加極致化的答案。這裡我不想用「極端化」這樣的詞語，因為我們不能對一個科學理論使用帶有強烈主觀傾向的描述。但是，從個人喜好而言，我覺得這種引申是極端化了。

[5] arXiv:quant-ph/0108070v3

[6] arXiv:quant-ph/9906015

[7] Deutsch和Wallace的論證很formal，牽涉了嚴謹的數學和邏輯，是一個比較複雜的過程。Wallace的論文就長達20多頁。這裡採用的，是Corroll在一個科普性講座中比較形象化的論述，因此才有了用博彩類比量子事件不太嚴肅的說法。

[8] arXiv:quant-ph/0211037

[9] 我自己的翻譯，因為中文文獻中找不到一個已經確立的翻譯法。

[10] 由於這部分論證都是在近些年才出現的，它們是否有效仍然有待於科學界進行評判。

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