關於量子理論中的時間反演

05-12

關於量子力學乃至量子場論中的時間反演，有許多教材已經講得很清楚了。

不過，也許是筆者愚鈍吧，對其中的一些定義不能夠很容易地接受；因此去找了一些討論得更細緻的文獻，整理了相應的筆記並補上了自己的一些思考。這些東西並不一定成熟，甚至不一定正確。倘若能起到拋磚引玉的效果，就非常幸運了。

經典情形

既然指明要討論的問題是量子理論中的時間反演，那它和經典情形的區別必然是存在的。在經典力學中，時間反演的定義和物理實質應該是非常清晰的。無論我們是採用牛頓的矢量動力學 ${m,x(t)}$ ，還是拉格朗日框架 ${q(t),dot{q}(t)}$ ，或者是哈密頓力學 ${q(t),p(t)}$ ，我們可以看到這些動力學量，作為動力學方程的解，都能看作是時間變數 $t$ 的單變數函數。它們作為基本力學量組，可以完備地描述經典體系的運動情形。

以哈密頓力學為例，我們討論經典力學的時間反演概念。從常規的「位置」及「動量」概念出發，某一瞬時時間反演操作的數學變換為： $ilde{q}=q, ilde{p}=-p$ 。這種反演的圖像非常簡單：位置不變，動量反向。這使得我們相信這種關於時間反演操作的簡單定義是合適的。

量子理論的情形

如果要將經典的簡單情形在量子力學中推廣，我們很自然地會想，經典力學中的基本力學量組的變換形式能否直接推廣到量子理論。事實上，在一些教材中，討論時間反演變換算符 $T$ 的出發點之一就是：

$TqT^{-1}=+q$
$TpT^{-1}=-p$

當然還可能包含自旋的變換 $TsT^{-1}=-s$ 。此外，根據Wigner 定理，如果要求 $T$ 不改變體系的具體物理內容，它應當是幺正或者是反幺正的，也就是 $T^{+}T=TT^{+}=1$ 。

在從這些量子誘導物出發推導一些結論之前，我們或許應該聽一聽其他的聲音。

Callender和Albert指出：如果假設時間反演不只是改變軌道上量子態的序（order），就會有一些東西不那麼自然。時間反演的標準解釋是將軌道 $psi(t)$ 映射到 $Tpsi(-t)$ ；即除了改變軌道序 $t o -t$ 之外，還包含了對瞬態進行變換的算符 $T$ 。他們認為，時間反演如果僅僅由「序反演」 $psi(t) opsi(-t)$ 來描述，是更合適的。

關於他們的觀點，可以提出這樣的反駁理由：在某一瞬間的物理量常常本質上依賴於時間的局域流向。就好比有一個英勇的，沖向怪物的勇士，在經過時間反演後，就成為了一個懦夫。基礎物理學中有許多情形是類似的：像動量，磁力，角動量和自旋這樣的性質，在定義上都本質依賴於時間的局域流向。

Callender和Albert的支持者當然會認為這些物理量對時間的內稟依賴性是不怎麼合理的。Callender指出，諸如在坐標表象中的動量算符 $P=ihbar (d/dx)$ ，「小 $t$ 」的缺席意味著「邏輯上不能推導出，當 $t o -t$ 時，動量會像經典力學裡那樣變號；類似地也不能認為邏輯上當 $t o -t$ 時必須有 $psi o psi^{*}$ 。」

這些爭論還沒有結束。但我們大概可以分出兩派的觀點分別起源於哪裡：一派認為量子態 $|psi(t) angle$ 及其軌道可以完備地描述整個量子動力學；而另一派認為諸如動量，自旋這樣的可能內稟依賴於時間的力學量組，是基本的。不得不說，從筆者的角度看（可能也是大部分量子力學初學者的觀點），由於狄拉克符號是這樣的優美和「本質」，我們或許更容易贊成前者的觀點。因為，當我們把某些符號放進左矢（bra）或者右矢（ket）的括弧之中時，彷彿自己能夠確定這些符號能夠將琢磨不定的鬼魅量子態確定下來——儘管這沒有消去它的本質隨機性。

不過，在閱讀完相關文獻後，筆者認為後者更有道理一些，因此在後文中都採取了後者的視角。

現在，我們暫時擺脫這些爭論，轉而考慮關於時間自然原理的一些更一般討論。

時間反演的三個迷思以及三階詮釋

Callender和Albert的支持者可能會有如下的三個認識：

轉移概率守恆 $|langle Tpsi,Tphi angle|=|langlepsi,phi angle|$ 是時間反演的一種人為約定的特徵，而沒有更多的正當理由了。
時間反演的幺正性（或者說「共軛層面」）是一種人為約定，沒有正當理由，或者說預設了對「位置」或者「動量」的確定變換規律。
時間反演對可觀測量的變換是一種人為規定，沒有正當理由，或者需要與經典力學的類比。

為了嘗試澄清這三個迷思，我們可以一階一階地構造時間反演的涵義，一共有三階。

第一階：時間反演是幺正的或者是反幺正的

學過量子力學的人，關於這個命題，很自然地會想到Wigner定理。這個定理如果用數學語言來描述，是：

考慮量子態空間（也就是Hilbert空間 $mathscr{H}$ ）中的射線（ray），或者說相差一個相因子的等價矢量類， $Psiequiv{e^{i heta}psi|psiinmathscr{H} ext{and} hetainmathbb{R}}$ 。由於這些類內部的元素之間只相差一個相因子，因而在兩類中任取一對元素，內積應當相同。這使得我們可以定義兩個射線的內積： $langle Psi,Phi angleequiv |langlepsi,phi angle|$ 。那麼，任意保持內積不變的對稱操作 $S$ ， $langle SPsi,SPhi angle=langle Psi,Phi angle$ ，它必能由一個幺正算符或者是反幺正算符唯一表示。

如果我們要考慮時間反演的情形，自然可以提出疑惑：為什麼時間反演必然是保持該內積不變的對稱操作？因為這聽起來雖然很自然，但沒有足夠強的證據和邏輯。

但是，有一個較為冷門的定理或許能使我們確信，時間反演算符確實是反幺正的。這就是所謂的Uhlhorn定理：

令 T是可分Hilbert空間 $mathscr{H}$ 中射線之間的雙射，此處 $mathscr{H}$ 的維度大於2。假設有 $langle Psi, Phi angle$ 當且僅當 $langle TPsi, TPhi angle = 0$ 。那麼， $langle TPsi, TPhi angle = langle Psi, Phi angle$ 。此外，存在著T的唯一一個實現 $T:mathscr{H} omathscr{H}$ ， $psiinPsi$ 當且僅當 $Tpsiin$ T $psi$ ；它是幺正的或者反幺正的，並且對所有的 $psi,phiinmathscr{H}$ ，滿足 $|langle Tpsi,Tphi angle|=|langlepsi,phi angle|$ 。

換句話說，只要一個變換能夠使得兩個態之間的正交性得到保持，它就必然是幺正或是反幺正的。

在奧卡姆剃刀的審視下，這樣的條件就要自然許多了。我們似乎沒有任何理由不相信，時間反演會破壞兩個態之間的正交性。這也就意味著，時間反演必須是幺正或是反幺正的。

第二階： $T$ 為什麼是反幺正的

所謂的反幺正算符是指雙射 $T:mathscr{H} omathscr{H}$ ，使得

$T^*T=TT^*=I$
$T(apsi+bphi)=a^* Tpsi+b^*Tphi$ 。或者等價為
$langle Tpsi,Tphi angle=langle psi,phi angle^*$

性質2和3暗示了時間反演「包含了共軛」。

對於熟悉線性算符的量子力學學生甚至專家而言，反幺正算符似乎顯得有些琢磨不透。那我們不妨看看經典情形中的時間反演有何類似的弔詭之處。

如果我們只考慮時間反演的瞬時效應，也就是在相空間的某個點保存空間坐標並且反轉動量： $(q,p) o(q,-p)$ ，很容易發現這個變換是反正則的（演化無法滿足哈密頓正則方程）。這個現象背後的數學原因是，瞬時的時間反演沒有保留辛形式 $omega=dq wedge dp$ ，也就是哈密頓方程誘導出的幾何結構。因此，經典哈密頓力學的瞬時時間反演往往被認為是「反正則」或者是「反辛」的；這彷彿可以和量子力學中的反幺正直接作類比。

Earman指出，某一刻態演化的趨勢必然編碼於疊加態的各個相位因子中；更準確地說，是相因子之間的關係。正因如此，時間反演操作必須改變相位之間的關係。也就是說，我們不能反演時間而不反演相角度。這恰恰是反幺正算符做的，因為 $Te^{i heta}psi=e^{-i heta}Tpsi$ 。

Earman的洞察非常清晰。不過這並不能取代關於反幺正性的更加一般和系統的推導。在一般教科書上採用的位置-動量方法： $Tihbar T^{-1}=T(QP-PQ)T^{-1}\ =(TQT^{-1})(TPT^{-1})-(TPT^{-1})(TQT^{-1})\=-(QP-PQ)=-ihbar$ 以反證法得出時間反演算符的反幺正性。但缺陷也是存在的：比如在相對性的量子場論中，局域性的位置算符實際上幾乎不可能定義。所以，我們在這裡要介紹一種更一般的方式，來解釋時間反演為什麼是幺正的。

眾所周知，物理規律的不變性，可以認為是動力學軌道組（所有允許的可能的軌道的集合）在某種對稱操作下的不變性。在量子理論的情形下，如果量子態 $psi$ 以 $psi(t)=e^{-frac{i}{hbar}Ht}psi$ 進行幺正演化，而在對稱操作變為態 $phi$ 後，也以 $phi(t)=e^{-frac{i}{hbar}Ht}phi$ 進行幺正演化；那我們可以說，量子系統在對稱操作下不變。

如果我們考慮整條軌道的時間反演，那就需要將「時間序列反演「與瞬時的時間反演算符 $T:mathscr{H} omathscr{H}$ 結合。綜合上面不變性的討論，對於 $psi(t) ophi(t)equiv Tpsi(-t)=Te^{-frac{i}{hbar}Ht}psi$ （隱含了 $phiequiv Tpsi$ ），時間反演的不變性意味著，對於所有 $psi$ ，有 $Te^{frac{i}{hbar}Ht}psi=e^{-frac{i}{hbar}Ht}Tpsi$ 。

值得注意的是，此時我們並沒有用到時間反演算符 $T$ 的任何性質。

現在假設 $T$ 除了幺正性或反幺正性外沒有更多的性質了。引入如下引理：

引理1.令 $T$ 是一個幺正或者反幺正的雙射,定義在可分Hilbert空間 $mathscr{H}$ 上。假設 $mathscr{H}$ 存在至少一個稠密定義的自伴算符 $H$ 滿足如下條件：
a.正定性。對 $H$ 定義域中的所有 $psi$ ， $0leqlangle psi,Hpsi angle$ 。
b.非平凡性。 $H$ 不是零算符。
c. $T$ -反演不變性。對所有 $psi$ ， $Te^{frac{i}{hbar}Ht}psi=e^{-frac{i}{hbar}Ht}Tpsi$ 。

那麼 $T$ 是反幺正的。

這條引理對非相對論量子力學和相對論量子場論都適用。比起傳統的位置-動量方法，它假設了更少的條件，因此也更一般。比如，它不用考慮和經典力學的類比，對錶象也沒有要求。如此這般，第二個迷思所稱「反幺正是人為約定」似乎也就沒那麼有道理了。

第三階：變換規則

現在，我們要試圖澄清第三個迷思。那就是，關於物理學量的時間反演變換規則並不單單是認為約定，而是時間反演對稱性的深刻體現。

有許多具體內容在教科書中已經涉及了，這裡不再討論其細節。

位置和動量變換。關於時間反演的一個最自然不過的假定是，它和空間平移變換是交換的，也就是說，先空間平移後時間反演等價於先時間反演後空間平移。數學上就是說， $U_aTpsi=TU_apsi$ 。眾所周知 $U_a=e^{iaP}$ ，其中 $P$ 就是自伴的動量算符。於是， $e^{iaP}=Te^{-iaP}T^{-1}=e^{T(iaP)T^{-1}}=e^{-iaTPT^{-1}}$ 。這意味著 $TPT^{-1}=-P$ 。

位置變換 $TQT^{-1}=Q$ 無論在何種意義上看都是顯然的。

自旋可觀測量的變換。類似地，從 $R_{ heta}^jTpsi=TR^j_{ heta}psi$ 可以得到， $Tsigma_jT^{-1}=-sigma_j$ 。

其他可觀測量。對於一般的可觀測量，我們似乎有了一個產生變換規則的策略。首先考慮可觀測量產生的對稱群，然後考慮在「逆轉時間」後、這樣的對稱性改變了多少意義；產生的對易規則決定了時間反演如何變換原始的可觀測量。

總結

關於量子理論中的時間反演，似乎存在著一些爭論。究其本質原因，是它的一些定義在某種程度上顯得不那麼「本質」、「簡單」。但實際上，在我們認真考慮了這些數學形式之後，不難發現，它們完全可以由一些更基本的原理導出；甚至可以說，自然界一些深刻的原理和對稱性要求了它們必須有這樣的形式。

以筆者拙見，時間的流向及其反演確實是一個很困難的課題。就目前來看，最符合人類常識的標記時間流向的方法或許是熵增判據。儘管對於經典可積系統而言，這樣的判據並沒有多少意義；而對於量子或半經典多體系統，這樣的判據又過於自然了；但是對於量子不可積系統（所謂的量子混沌），這樣的判據就比較微妙了。也許在一些簡單的量子體系內搞清楚時間反演，會使我們對量子混沌的理解更深吧。

參考文獻

更多的細節可以在參考文獻中找到，尤其是第一篇。

Three Myths about Time Reversal in Quantum Theory, Bryan W. Roberts.
Time and Chance. David Z. Albert.
Is Time handed in a Quantum World? Craig Callender.
What Time Reversal Is and Why It Matters. John Earman.
量子力學(第四版),張永德.