標籤：

數學高考高考數學

【063】「看似簡單」的壓軸題（2019年廈門5月質檢）

05-14

例已知函數 $f(x)=ae^{2x}-e^x+x+b(a>0,bin R)$ 。

（1）討論 $f(x)$ 的單調性；

（2）若對任意 $a>0$ ， $f(x)$ 恰有一個零點，求 $b$ 的取值範圍。

解答（1） $f(x)=2ae^{2x}-e^x+1$ ，其中 $a>0$

考慮二次函數 $g(t)=2at^2-t+1$ ， $t>0$ ， $g(0)=1>0$

其判別式 $Delta=1-8a$ ，對稱軸 $t_0=frac{1}{4a}>0$

若 $ageq frac{1}{8}$ ，則 $Delta le 0$ ， $g(t)geq 0$ ， $f(x)$ 在 $(-infty,+infty)$ 遞增；

若 $0 ，令 <img src=$ ，解得 $t_1=frac{1-sqrt{1-8a}}{4a}$ ， $t_2=frac{1+sqrt{1-8a}}{4a}$

因此 $f(x)$ 在 $(-infty,ln (frac{1-sqrt{1-8a}}{4a}))$ 遞增， $(ln (frac{1-sqrt{1-8a}}{4a}),ln (frac{1+sqrt{1-8a}}{4a}))$ 遞減，

$(ln (frac{1+sqrt{1-8a}}{4a}),+infty)$ 遞增。

（2）若 $ageq frac{1}{8}$ ，由（1）知： $f(x)$ 在 $(-infty,+infty)$ 遞增，

當 $x ightarrow-infty$ 時， $f(x) ightarrow-infty$ ；當 $x ightarrow+infty$ 時， $f(x) ightarrow+infty$

由零點定理知： $f(x)$ 在 $(-infty,+infty)$ 存在唯一零點；

若 $0 ，記 <img src=$ ， $x_2=ln (frac{1+sqrt{1-8a}}{4a})$

且 $x_1$ ， $x_2$ 滿足： $2ae^{2x}-e^x+1=0$ ，又 $f(0)=2a>0$

$f(ln 2)=8a-1<0$ ，故 $0<x_1<ln 2<x_2$

由（1）知： $f(x)$ 在 $(-infty,x_1)$ 遞增， $(x_1,x_2)$ 遞減， $(x_1,+infty)$ 遞增

$f(x_1)=ae^{2x_1}-e^{x_1}+x_1+b=x_1-frac{1}{2}(e^{x_1}+1)+b$

令 $f(x_1)<0Leftrightarrow b<frac{1}{2}(e^{x_1}+1)-x_1$ ，其中 $0<x_1<ln 2$

令 $varphi (x)=frac{1}{2}(e^x+1)-x$ ， $0<x<ln 2$ ， $varphi (x)=frac{1}{2}e^x-1<0$

因此 $varphi (x)$ 在 $(0,ln 2)$ 遞減， $varphi (x)>varphi (ln 2)=frac{3}{2}-ln 2$

因此 $ble frac{3}{2}-ln 2$ ，此時 $f(x)$ 的極小值小於 $0$

又當 $x ightarrow+infty$ 時， $f(x) ightarrow+infty$ ，故 $f(x)$ 在 $(-infty,+infty)$ 存在唯一零點；

$b$ 的取值範圍為 $(-infty,frac{3}{2}-ln 2]$ 。

注此題的我的做法並不是特別嚴謹，因為沒有「取點」...

推薦閱讀：

TAG:數學 | 高考 | 高考數學 |