量子光學數學準備一

這本書從1.3.3節和陳希孺書有不同的內容，首先多出了介紹四個生成函數的內容，其次陳書中只講了統計三大分布，正態分布，二項分布，和泊松分布，當然也有伽馬分布。

這部分是難以理解的新內容，因為引入的各種生成函數，從動機上難以接受。

生成函數的百度百科，其中包括普通型生成函數和指數型生成函數，可見生成函數（Generating functions）在數學上和其他領域是有大用處的。

車比雪夫不等式（Chebyshev inequality）

是非負實函數， 是某個正數，概率 為大於 的概率，也就是變數 處於區域 ， 的概率，即

很容易證明車比雪夫不等式：

該不等式是很寬的條件。和陳書中不同的是，陳書中這個不等式取 的特例情況叫做馬爾科夫不等式。陳書中車比雪夫不等式，是這個式子中取 的特殊情況。對於這個知識點，個人覺得用Mandel的體系更加好。而且這裡簡要說明一下車比雪夫不等式的意義，有時我們從已經掌握的知識，無法知道變數的分布函數 ,但是我們知道變數的均值，我們就可以很粗糙的得到一個變數大於某個值的概率的上限是多少，雖然這個上限很粗糙，但是很多時候總比概率上限1來得實際的多。

矩生成函數（Moment generating function）也有叫母函數的（但是這裡的翻譯不知道對不對，總感覺矩生成函數有點怪怪的）百度詞條：矩量母函數，定義如下：

如果將指數部分 展開成關於x的冪級數，可以得到關於各階原點矩的等式：

r階原點矩可以對矩量母函數在原點處求r階導得到，對於變數 為離散隨機變數 ，矩量母函數可以表示為求和的形式。

前面對於隨機變數是離散值的情況給出了階乘矩的定義，同樣有階乘矩母函數，將 中的r階原點矩，換成r階階乘矩 即得階乘矩母函數。定義為：

含有虛數的特徵函數，感覺非常的熟悉，這和熱統中的配分函數很像，而且xiang函數傅里變換中的基函數形式。定義特徵函數為：

其實特徵函數就是 的傅里葉變換，當 是平方可積時，這和一般的傅里葉變換的定義一樣。對特徵函數進行傅里葉逆變換就得到概率密度函數。

我們知道柯西分布的隨機變數的一階原點矩是不收斂的，所以矩量母函數也是不收斂的，但是柯西分布的特徵函數卻可以存在。

特徵函數有著非常豐富的數學性質，Mandel在書中強調，整本書都會用到這些性質，所以記住書中次數給出的特徵函數的性質，非常有必要。

(a)

(b)

(c) 在實軸上是連續的，即便 是不連續的

(d) ，由 為實數函數可以推出這個性質。

(e) 是正定的，也就是說對於任意的實數 和任意的複數 滿足以下不等式：

這個定理的重要性不能很容易看出來，在數學上斷言，大類正定函數的傅里葉變換是非負的，而大類非負函數的傅里葉變換是正定的，比方完全可積函數就是這類函數。因此只要滿足上述正定要求，且 ，就是特徵函數。

矩量母函數，階乘矩母函數，特徵函數三者直接的關係：

如果概率密度函數 中，自由變數是複數，我本人在學習傅里葉變換的時候都是只有一個實變數的函數，雖然函數值可以是實數或複數。這邊也到變數本身是複數的情況，因為複數變數可以看成是兩個實數變數，所以可以對這兩個實數變數進行二維傅里葉變換。

則此時的特徵函數為：

對矩量生成函數取對數，可以得到累積量生成函數cumulants generating function：

顧名思義，矩量生成函數生成的各階原點矩，累積量生成函數生成各階累積量。

，

累計量生成函數的性質，處理統計獨立變數方便。