設一個航天器m受到0.0000124牛的空氣阻力，用什麼方法能計算出航天器m多久落到地球表面？

10-09

設一個航天器m在距離地球390千米的軌道高度以7.8km/s的速度運行，並且受到0.0000124牛的空氣阻力，問航天器m多久落到地球表面?(航天器長1.7m寬40cm高10cm，重60kg)

條件不夠，至少還需要知道衛星質量；精確計算還需要知道形狀等，而且計算結果誤差很大，時間範圍可能在正負10天。

書上現有的不會查書嗎？考試題拿來問，有意思么？下面的估算方法來自西工大《航天飛行動力學》第六章第4節。

以下假設初始時刻位於近地點，7.8km/s是切向速度，那麼航天器處於橢圓軌道上。初始的軌道角動量 $h=r imes v_ au=(6378+390) imes7.8=52790.4 km^2/s$

由活力公式計算半長軸a，然後計算偏心率

$frac{v^2}{2}-frac{mu}{r}=-frac {mu}{2 a}Rightarrow a=6999.17 km$

$r_p=a(1-e)=6768Rightarrow e=1-r_p/a=0.033$

偏心率不小，不能套用圓軌道假設。

顯然阻力不是恆定的，所給的阻力是初始時刻的。阻力加速度與高度和速度有關， $egin{equation}f_{drag}(r,v)=frac{D}{m}=-frac{ ho v^{2} S C_{D}}{2 m}=-sigma ho v^{2}end{equation}$

按照指數規律計算一下大氣密度， $ho(h)= ho_0e^{-h/h_0}$ ，或者查1976標準大氣表得 $ho(390km)=3.408*10^{-12}kg/m^3$

由於給定了阻力大小，所以可以推算航天器所受阻力的一個係數，

$sigmaequivfrac{ S C_{D}}{2 m}=frac{D}{ ho v^2}=frac{0.0000124}{1e-13*7.8e3^2}=2.038$

這個係數不變。此外大氣阻力係數設 $C_D=2.2$ ,可得面質比 $S/m=sigma*2/C_D=0.054$

只考慮這一項攝動力，在軌道切向、徑向和法向分解，阻力與速度反向。由於是橢圓軌道，所以阻力沿切向和徑向都有一個分量，大小隨速度、高度而變化。代入高斯型攝動方程，可以建立常微分方程組，顯然這個方程只能用數值解法求解。

當然，這個微分方程不一定需要精確求解，大致估計一下就可以了。整體趨勢是，橢圓軌道軌道面不變，半長軸、偏心率、緯度輻角都會變。橢圓逐漸圓化，高度不斷降低。進一步的估算方法教材上應該有，自己去看書。

再入時間(幾個小時)相對於軌道受攝降低的時間(幾個月)很短，所以忽略不計。

簡便起見，我用STK做一個演示，採用HPOP模型，不考慮太陽光壓和其他攝動力。