自然常數 e 的兩個表達式為什麼是等價的，有什麼聯繫？

11-02

一個是極限定義式，還有一個是階乘的倒數和，從本質上來說，階乘倒數和這個定義，描述了一個什麼樣的過程，

謝邀.

要講明白這個事, 簡單也不簡單. 有必要先回顧一下歷史.

所謂自然常數 $e$ 通常稱為"自然對數的底", 事實上, 因為在歷史上, 對數函數先於指數函數誕生, 其中一個原因是為了簡化航海計算. 早先對數的一個定義是通過以下積分給出的:

$int_{0}^{x}frac{dx}{1+x}.$

之後, Newton 接受這個想法, 使用二項級數, 得到了 $ln(1+x)$ 的 Taylor 展開式(名字後取的). 然後利用精巧的反演得到了 $ext{Exp}(x)$ (也就是後來寫作 $e^x$ 的函數)的冪級數展開式. 直到後來, Taylor 發表了一篇《增量法及其逆》的文章, 才有了現在的 Taylor 展開式.

這樣說, 歷史上自然常數 $e$ 是定義為 $ext{Exp}(1)$ 的. 其他的定義式都是從這裡開始的. 說起 $e$ 其實應該談談對數函數及其反函數(指數函數)怎麼來的, 這方面歐拉做出了極大的貢獻. 整個說清楚需要很大的篇幅, 這裡只簡單提一下. 有興趣有很多資料可供參考.

說回題主的問題. 題主所問的兩個定義式, 我個人比較傾向的一種解釋是, 他們是通過下面講到的方程的解來給出的.（即 e^x 是用以下微分方程的解來定義的。）

1. 從連續變化的增長模型看

考慮自然界的物種繁衍, 細胞增殖, 放射性元素衰變等等自然現象的數學模型. 將其視為連續變化的情況下, 可以用以下微分方程方程來表示.

$egin{cases} frac { dy }{ dx } =lambda y, \ y(x_{ 0 })=y_{ 0 } end{cases}$

不失一般性, 設 $lambda=1$ , 假設初值條件為 $y(0)=1$ , 學過微分方程的話, 應該很容易得到, 這個方程的解, 用 $ext{Exp}(x)$ 表示. 當然, 這個時候我們還不知道 $ext{Exp}(x) = e^x$ , 更不清楚 $e$ 是什麼(尚未定義). 但是對於 $ext{Exp}(x)$ 這個函數我們可以證明它具有以下性質:

定理: 函數 $ext{Exp}(x)$ 的定義域是 $mathbb{R}=(-infty,+infty)$ , 並且 $ext{Exp}(x_1+x_2)= ext{Exp}(x_1) ext{Exp}(x_2)$ .

利用這個性質, 可以進一步證明得到有 $ext{Exp}(x)=[ ext{Exp}(1)]^x$ ,這個函數是一個指數函數.

2.從離散變化的增長模型看

以上自然現象從離散變化的情況看, 可以用以下差分方程來描述:

$egin{cases} frac { Delta y }{ Delta x } =lambda y, \ y(0)=y_{ 0 } end{cases}$

其中, $Delta x$ 是從 $x$ 到 $x+h$ 的變化量(步長) $h$ , $Delta y$ 是從 $y(x)$ 到 $y(x+h)$ 的變化量. 令 $h=1$ 的話, 可以遞推 $n$ 次得到 $y(n)=(1+lambda)^n y_0$ .若將 $h$ 縮小到 $1/n$ , 同樣, 遞推 $n$ 次, 就會有 $y(1)=left(1+frac{lambda}{n} ight)^n y_0$ . 進一步也就是 $y(x)=left(1+frac{lambda}{n} ight)^{nx} y_0$ .

通過上面連續和離散的兩個角度看, 似乎只要將離散的情況推向極限的 $n ightarrowinfty$ , 對比看, 就有了自然常數的極限定義式 $ext{Exp}(1)= lim_{n ightarrowinfty}left(1+frac{1}{n} ight)^n$ . 實際上要證明這一點(就是證明這個差分方程之解的極限是以上微分方程的解), 沒這麼簡單, 這裡不展開討論. (當然從以上討論也大致可以理解, 為什麼 $e$ 被稱為自然常數的原因).

另一方面, 為了具體計算 $ext{Exp}(x)$ , 歐拉這樣做:

令 $ext{Exp}(x)=sum_{n=0}^{infty}a_nx^n$ , 由 $ext{Exp}(0)=1$ 得到 $a_0=1$ ;

由 $frac{d}{dx} ext{Exp}(x)= ext{Exp}(x)$ , 得到 $sum_{n=0}^{infty}na_nx^{n-1}=sum_{n=0}^{infty}a_nx^n$ ,(注意考察收斂情況. 當然, 在歐拉時代, 普遍對於收斂性的重要性還沒有足夠的重視, 對於逐項求極限, 逐項求導求積分等要求的一致收斂的條件還沒有嚴格的論述);

通過比較同類項, 於是得到遞推公式, $a_{n+1}=frac{1}{n+1}a_n$ ,

於是歐拉得到了計算公式 $ext{Exp}(x)=1+frac{x}{1!}+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}+cdots$

NOTE: 額外多說一句，歐拉曾經還這樣做過，對有限的 n 直接二項展開（1+1/n）^n，然後再令 n 趨於無窮，再將有限項推到無窮，得到 e 的級數形式。這展示了歐拉對於數學非凡的洞察力，但是要說明的是，事實上這種做法是錯誤的，是嚴格的分析所不能接受的。

具體的真正最後要解決的還是證明 $ext{Exp}(1)= lim_{n ightarrowinfty}left(1+frac{1}{n} ight)^n$ , 要搞明白這一點, 於是還是要回到對數函數上來, 也就是源頭. 出於需要計算對數表的需求, 選擇合適的底成為一個重要的問題, 這也就是 $e$ 誕生的故事.

以上都只是一些歷史的介紹, 以上拋磚引玉, 題主可以通過各種資料進一步學習了解, 題主所問的兩個公式也就自然聯繫到一起了.

好像有點答非所問............

此前的批判言論我撤了，誰執意要哪樣做我不管了。但以防討論到二項式時不嚴格趨於無窮大所造成的問題。我對該方式進行完整補充(指對二項式展開-&>趨於無窮大的證明等價性的過程)。雖然也許和歐拉的過程不一樣的，但所有方法都需要通過這樣的二項式展開，除非你不通過代數討論。這樣我補充它的完善證明。

以下是我討論兩個定義的等價性的內容，特別地，我已指出，我會使用包括二項式定理在內的內容。

定義A(3.1)：度量空間X中的序列 $[left{ {{a_n}} ight}]$ ，如果有一個下述性質的點 $[a in X]$ ：

對任意的 $[varepsilon > 0]$ ，有一個正整數 $[N]$ ，使得當 $[n ge N]$ 時可以得到 $[dleft( {{a_n},a} ight) < varepsilon ]$ ，稱序列 $[left{ {{a_n}} ight}]$ 收斂的。另外我們也稱 $[left{ {{a_n}} ight}]$ 收斂於 $a$ ，也稱 $a$ 是序列 $[left{ {{a_n}} ight}]$ 的極限。並記作 $[{a_n} o a]$ ，或者 $[mathop {lim }limits_{n o infty } {a_n} = a]$ 。另外，若 $[left{ {{a_n}} ight}]$ 不收斂稱之為發散的。

定義B(3.5)：設有序列 $[left{ {{a_n}} ight}]$ ，取正整數序列 $[left{ {{n_k}} ight}]$ ，使 $[{n_1} < {n_2} < ...]$ ，那麼序列 $[left{ {{a_{{n_k}}}} ight}]$ 稱為序列 $[left{ {{a_n}} ight}]$ 的子序列，如果 $[left{ {{a_{{n_k}}}} ight}]$ 收斂，把它的極限稱為 $[left{ {{a_n}} ight}]$ 的部分極限。

定義C(3.16)：設 $[left{ {{s_n}} ight}]$ 是實數序列(目的為了有序的並且可引入最小最大上下界)。 $E$ 是所有可能的子序列 $[left{ {{s_{{n_k}}}} ight}]$ 的極限 $x$ 組成的集。 $E$ 含有定義B所規定的部分極限。

稱 $[sup E]$ 為序列 $[left{ {{s_n}} ight}]$ 的上極限(若存在)， $[inf E]$ 為序列 $[left{ {{s_n}} ight}]$ 的下極限(若存在)。

(這裡 $sup$ 記為最小上界， $inf$ 記為最大下界)

另外的記號分別為

$[mathop {lim }limits_{n o infty } sup left( {{s_n}} ight) = sup E,mathop {lim }limits_{n o infty } inf left( {{s_n}} ight) = inf E]$ 。

引理D(3.18c)：對於實數序列 $[left{ {{s_n}} ight}]$ ， $[mathop {lim }limits_{n o infty } {s_n} = s]$ ，當且僅當 $[mathop {lim }limits_{n o infty } sup left( {{s_n}} ight) = mathop {lim }limits_{n o infty } inf left( {{s_n}} ight) = s]$ 。

引理E(3.19)：如果 $N$ 是固定的正整數，當 $[n ge N]$ 時， $[{s_n} le {t_n}]$ ，那麼 $[mathop {lim }limits_{n o infty } inf left( {{s_n}} ight) le mathop {lim }limits_{n o infty } inf left( {{t_n}} ight)]$ ，

$[mathop {lim }limits_{n o infty } sup left( {{s_n}} ight) le mathop {lim }limits_{n o infty } sup left( {{t_n}} ight)]$ 。

定義 $[exp left( x ight) = sumlimits_{n = 0}^infty {frac{{{x^n}}}{{n!}}} = 1 + x + frac{{{x^2}}}{{2!}} + frac{{{x^3}}}{{3!}} + ... + frac{{{x^n}}}{{n!}} + ...]$

考察 $e$ ，我們先定義 $[e = exp left( 1 ight)]$ 即 $[1 + 1 + frac{1}{{2!}} + frac{1}{{3!}} + ... + frac{1}{{n!}} + ...]$

稱部分和 $[{s_n} = sumlimits_{r = 0}^n {frac{1}{{r!}}} = 1 + 1 + frac{1}{{2!}} + frac{1}{{3!}} + ... + frac{1}{{n!}}]$ 。

$[{s_n} < 1 + 1 + frac{1}{2} + frac{1}{{{2^2}}} + ... + frac{1}{{{2^{n - 1}}}} < 3,{s_{n + 1}} - {s_n} = frac{1}{{left( {n + 1} ight)!}} > 0]$

單調遞增且上有界因而 $lim_{n ightarrow infty}{s_n}$ 收斂。

定理F(3.31) $[mathop {lim }limits_{n o infty } {left( {1 + frac{1}{n}} ight)^n} = e]$

證：設 $s_n$ 為上面提到的部分和， $t_n$ 為 ${left( {1 + frac{1}{n}} ight)^n}$ ，這裡 $n$ 暫時是有限的。

第一部分

因而可以二項式展開 $t_n$ ,得到

$[egin{array}{l} {t_n} = {left( {1 + frac{1}{n}} ight)^n} = sumlimits_{r = 0}^n {frac{{C_n^r}}{{{n^r}}}} = sumlimits_{r = 0}^n {frac{{n!}}{{{n^r}r!left( {n - r} ight)!}}} = sumlimits_{r = 0}^n {frac{1}{{r!}}prodlimits_{k = 0}^{r - 1} {left( {1 - frac{k}{n}} ight)} } \ = 1 + 1 + frac{1}{{2!}}left( {1 - frac{1}{n}} ight) + frac{1}{{3!}}left( {1 - frac{1}{n}} ight)left( {1 - frac{2}{n}} ight) + ... + frac{1}{{n!}}left( {1 - frac{1}{n}} ight)...left( {1 - frac{{n - 1}}{n}} ight) end{array}]$

注意，規定 $sum$ 的上標小於下標記為0， $prod$ 的上標小於下標記為1。

因為tn每一項有一個連乘因子 $Pi$ ，而有限 $n$ 下這個每一項都小於1。因此 $t_n leq s_n$ 。

由引理D,E得

$[mathop {lim }limits_{n o infty } sup left( {{t_n}} ight) le e]$ 。

第二部分

其次，如果給定一個 $m$ ， $n geq m$ ，那麼

$[egin{array}{l} {t_n} ge sumlimits_{r = 0}^m {frac{1}{{r!}}prodlimits_{k = 0}^{r - 1} {left( {1 - frac{k}{n}} ight)} } = \ 1 + 1 + frac{1}{{2!}}left( {1 - frac{1}{n}} ight) + frac{1}{{3!}}left( {1 - frac{1}{n}} ight)left( {1 - frac{2}{n}} ight) + ... + frac{1}{{m!}}left( {1 - frac{1}{n}} ight)...left( {1 - frac{{m - 1}}{n}} ight) end{array}]$

固定 $m$ ( $m$ 有限)，令 $n ightarrow infty$ ，得

$[mathop {lim }limits_{n o infty } inf left( {{t_n}} ight) ge sumlimits_{r = 0}^m {frac{1}{{r!}} = } 1 + 1 + frac{1}{{2!}} + frac{1}{{3!}} + ... + frac{1}{{m!}} = {s_m}]$

因此 $[{s_m} le mathop {lim }limits_{n o infty } inf left( {{t_n}} ight)]$

令 $m$ 也 $ightarrowinfty$ ，這裡自然地 $ngeq m$ 依然成立，即上式( $[{s_m} le mathop {lim }limits_{n o infty } inf left( {{t_n}} ight)]$ )成立

得 $[e le mathop {lim }limits_{n o infty } inf left( {{t_n}} ight)]$ ，這一步依極限定義允許得到

由此 $[e le mathop {lim }limits_{n o infty } inf left( {{t_n}} ight) le mathop {lim }limits_{n o infty } {t_n} le mathop {lim }limits_{n o infty } sup left( {{t_n}} ight) le e]$

$[ Rightarrow e = mathop {lim }limits_{n o infty } inf left( {{t_n}} ight) = mathop {lim }limits_{n o infty } {t_n} = mathop {lim }limits_{n o infty } sup left( {{t_n}} ight) = e]$

由引理D得 $[mathop {lim }limits_{n o infty } {t_n} = e]$ 即 $[mathop {lim }limits_{n o infty } {left( {1 + frac{1}{n}} ight)^n} = e]$ ，證畢。

這裡我們利用極限的性質和二項式定理並討論tn的上下界來(類似夾逼定理地)導出

$[mathop {lim }limits_{n o infty } {left( {1 + frac{1}{n}} ight)^n} = e]$

我沒使用任何的其他方法，並且使用了二項式定理。

另外的，同樣可以討論

$[mathop {lim }limits_{n o infty } {left( {1 + frac{x}{n}} ight)^n} = exp left( x ight)]$ 。

這個依然想比較嚴謹地討論至少需要通過上下極限討論(不過允許 $x$ 為複數的還要繞個大彎)。

還有，等價有個定義 $[e=mathop {lim }limits_{n o infty } {left( {1 + frac{1}{n}} ight)^n}]$ 並導出其與 $exp left( 1 ight)$ 相等，這個方法依然完全可以通過上面的推導過程得出。

參考文獻：

[1]《Principles of Mathematical Analysis》--Walter Rudin

(即《數學分析原理》，也稱baby rudin)

這些推導過程完全基於baby rudin的第三章的討論。由此討論的更完備過程請參閱提及的參考文獻。

公式已補，如有錯誤，請務必指出~

都是微分方程的解，只不過一個是冪級數，一個是歐拉折線法。

如果你喜歡，可以試試龍格庫塔方法寫一個。

$egin{align} (1+frac{1}{n})^n\ =1+C^1_nfrac{1}{n}+C^2_nfrac{1}{n^2}+...+C^k_nfrac{1}{n^k}+...+C^n_nfrac{1}{n^n}\ =1+frac{n!}{1!(n-1)!n}+frac{n!}{2!(n-2)!n^2}+...frac{n!}{k!(n-k)!n^k}+...+frac{n!}{n!0!n^n}\ ightarrow1+frac{1}{1!}+frac{1}{2!}+...+frac{1}{n!}+... end{align}$