sin(arcsinx)為什麼等於x？

01-10

簡單地說，
因為 $y=arcsin x$ 是 $y=sin x quad left( x in left[ -frac{pi}{2} ,frac{pi}{2} ight] ight)$ 的反函數。（ $arcsin x$ 的定義）

而且， $y=sin x quad left( x in left[ -frac{pi}{2} ,frac{pi}{2} ight] ight)$ 也是 $y=arcsin x$ 的反函數
如果把函數當成「機器」，
你丟給它一個 $x_0$ ,他還給你一個 $y_0$
那這個函數的反函數相當於另一台「相反過程的機器」，

但這台機器剛好相反，你丟給它一個 $y_0$ ，它還給你一個 $x_{0}$
對於任意 $x_0 in left[ -1,1 ight]$ ，令 $y_0=arcsin x$
則 $x_0=sin z_0$
所以 $sin left( arcsin x_0 ight)=sin y_0=x_0$
所以 $sin left( arcsin x ight)=x$

$sin left( arcsin x ight)$ 相當於你丟一個 $x_0$ ，得到一個 $y_0$ ,然後把 $y_0$ 丟進「相反過程的機器」，那就得到 $x_0$ ,所以繞了一圈最終還是得到 $x_0$
這裡寫成 $sin left( arcsin x ight)=x quad (xin[-1,1])$ 會更好一點，雖然不寫也沒關係
如果x不在這個範圍內， $sin left( arcsin x ight)$ 無定義。
其實這就是說
$y=sinleft(arcsin x ight)$ 和 $y=x$ 不是同一個函數，因為前者定義域為 $left[ -1,1 ight]$ ，後者定義域為 $R$

$y=arcsin x$ 是 $y=sin x quad left( x in left[ -frac{pi}{2} ,frac{pi}{2} ight] ight)$ 的反函數。（這是 $arcsin x$ 的定義）
$y=sin x quad left( x in left[ -frac{pi}{2} ,frac{pi}{2} ight] ight)$ 的定義域就是 $left[ -frac{pi}{2} ,frac{pi}{2} ight]$ ，值域是 $left[ -1 ,1 ight]$ 。
根據反函數定義， $y=arcsin x$ 的定義域是 $left[ -1 ,1 ight]$ ，值域是 $left[ -frac{pi}{2} ,frac{pi}{2} ight]$ ，
而且對任意 $x_0 in left[ -1,1 ight]$ ，若 $y_0=arcsin x_0$ ，則 $x_0=sin y_0$ 。

$y=sin left( arcsin x ight)$ 相當於函數 $y=sin u, u=arcsin x$ 的複合,定義域和值域都是 $left[ -1 ,1 ight]$

說說我的理解。。
若y＝sinx
則arcsiny＝x
所以arcsin（sinx）＝x
sin和arcsin互為反函數，所以問題應該成立吧
下面是在頭條找的，我是沒看明白（doge）（侵刪）

當x為角度時，求其正弦值用sinx
當x為正弦值時，求其角度用arcsinx
sin（arcsinx）中的x為正弦值

與西相反的方向是東，與東相反的方向是西，也就是與西相反方向的相反方向還是西。

$frac{ 1 }{ frac{ 1 }{ x } }=1$
一個道理。

就差不多把圖像sinx以直線y=x為對稱軸對稱翻折兩次，得到的還是原來的圖像

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