定義是命題嗎？

如一個定義：若集合A的元素都屬於B，則稱A是B的子集。這是一個命題嗎？定義和命題是包含關係嗎？

定義不是命題。

用不嚴格的話來說，定義就是說明某個概念或符號在一個體系中表達了什麼意思。

你的提問中的例子，就是「子集」這個概念的定義。定義中的A和B其實是泛指，稍微具體一點的定義應該是： 若存在一個集合A，且存在一個集合B，並且任意集合A中的元素都屬於集合B，則稱集合A是集合B的子集。

所以你現在隨便拿兩個集合C和D來套，就能知道C是D的子集這種表述成立不成立。以後再有人說子集，你就知道他說的是什麼意思。

命題則不同，命題是表述概念之間關係的一種判斷。比如，若A是B的子集，且B是C的子集，則A是C的子集。這裡面沒有引入概念，即「稱」這個字。表述類似於三段論中的邏輯推理，這個就是命題。命題有真假和不能判斷，定義無真假，卻有是否成立。

舉例：

1. 定義：原通俗概念中的神稱為上仙，且稱 whitebob 為神。

那麼以下命題為真: 神是會死的。神是男生。聖經中說：上仙說要有光，於是就有了光。

2.「本命題為假」命題的真假性不能判斷。

3. 定義：稱無所不知的存在不知道的事物為禁忌知識。此定義不成立。

了解了嗎？

定義是命題（只不過它的真值表通常被鎖在1上了，某種程度定義也可以理解為假設）。

π的定義為，圓的周長和直徑的比值。

就是說

π ? 圓的周長和直徑的比值

這是個命題，可真可假。但是，我們假設其為真，因為它為真的時候方便我們日常生活以及其它運算。

你也可以假設其為假，你自己定義新的π的定義

π ? 正方形的周長和邊長的比值

那麼此時根據你的假設，那個圓的定義（命題）對於你來說是假命題，這個正方形的對於你來說是真命題。

定義全是命題。但命題不一定是定義。

題主的這個問題中的舉例不是單純的定義，而是定義之後通過命題抽取共性或差異的再定義。複雜的定義必然包括命題，但命題不一定是定義的必要組成。

所以命題不是定義，它只是完成一部分定義的一個過程。或者也可以說命題是對一個新定義的需求或要求。

純粹的定義已經非常少見，它往往只在第一次接觸（認識）某種事物時才會存在，所以很容易將定義與命題混淆。

定義實際上就是將論域中的對象劃分成兩類，一類是符合條件的，一類是不符合的。

比如題主所描述的A的所有元素都是B的元素，如果B是確定的集合，那麼任意一個集合A，他要麼所有元素都是B的元素，要麼並不是所有元素都是B的元素，這樣就把集合論中的對象（集合）劃分成兩類。

A是B的子集其實是A的所有元素都是B的元素的一個簡稱（縮寫），如果我們不把包含關係看成是集合論的基本二元關係。

在集合論中，只需要屬於關係和相等關係（這個其實也可以不要）就足夠衍生出其它我們需要的關係了。

取決於什麼是命題

比如說一階語言裡面能定義的是謂詞、函數、常元，這幾個各自都不是合式公式，不是一階語言的命題，你這裡的「屬於」關係就是一個謂詞而不是「真」或「假」的東西

然而在類型論裡面，所有東西都是類型，所有類型都可以理解成「命題」，你引入的定義是函數類型，定義「屬於」相當於引入新的類型，你願意叫他一個「命題」，按類型論的解釋也沒大問題。

當然，如果按一階解釋類型論，這也是引入新的語言(函數、謂詞、常元)，那也不是命題了......

謝邀鴨！

就個人的理解的話，定義可以轉化為命題，畢竟定義本身就是一個真命題，而命題有真假之分；

定義的話一般是個陳述句；

命題更多時候包含有前提加結論；

我所了解大概就這樣，希望能幫到你。

是

說得通俗一點，你生了個一個小孩，要給小孩起名字，這個起名字就是定義。但這個小孩喜歡什麼，不喜歡什麼，品性是怎樣的，這些都是命題了

數學定義就是縮寫，不一定是命題。這也是為什麼在白腦袋與羅素的 《Principia Mathematica》 中，從定義到對等的命題也需證明。見"typographical conveniences."

首先這個表述是不嚴謹的。

嚴謹的定義：「當且僅當……時，稱……」或者不那麼中文的表述「稱……，當且僅當……」。

【原來定義的反例：請問如果集合 A 的元素不完全屬於 B，那麼我們可以稱 A 是 B 的子集嗎？似乎可以，因為這個單向的條件句沒有禁止我們這樣做。我們唯一被禁止的操作是在集合 A 的元素都屬於 B 的時候不將 A 稱為 B 的子集。（請注意，這樣說其實依舊非常彆扭，詳述見下文）】

這表面上是一個祈使句，也就是說，某種意義上來說它在『命令』你這樣使用一個新的辭彙。

當然了，一般來說一個長得像命令的東西，比如「你去開門」有兩種讀法：

• （某人，比如我，對話的時候的說話者，看書/文章時的作者等）命令你去開門，即，等效於我看著你/指著你說「去開門」。instructor）命令你去開門，即，等效於我看著你/指著你說「去開門」。
• 描述這個事實，或者說使用這個命題內容。當然，漢語中「你去開門」一般不是一個描述，正如英文中我們要用「you are opening the door」而非「you open the door」。但是至少在嵌套（embedded）的情況下有純粹用來描述的情況，比如：「如果你去開門，那麼他不會去開門」——這句話顯然不是一個命令，而且很有可能是真的，這句話是真的正式因為如果前件是真的，那麼後件是真的。而我們對命令沒有辦法談論真。我們可以說一個命令是合理的，也可以說它被執行了，但是不能說一個命令是真的。

類似地，這個地方我們可以將「稱」看作是「我們稱」的省略。——那問題來了，「我們」到底是誰？是作者和讀者（我和你），還是寫這本書的作者（即便只有一個人，我們在寫東西的時候也可以用「我們」，比如前面加粗的這個我們。）

這裡我傾向於前者而不是後者。

而就算把這個理解成了類似命令的東西，關於命令和命題的理解又有至少有兩種情況：

• 一個命令中包含了一個命題。這是 Frege 等人對於語力和語義的區分，他們可能認為作為陳述「你將要去開門了」和作為命令的「你去開門」在語義上是一樣的（這個一樣在中文中其實不顯然，顯然的是英語中的「You will let me know if she contacts you」雖然看上去像是一個一般將來時的陳述，但是更多的日常用法是作為命令。當然德語中其實命令和陳述的動詞形式也不同，所以不是很確定 Frege 的語言直覺是什麼），至少作為命令的「你去開門」和作為描述的「你將要去開門」共享了幾個層面上的內容：
• 行動主體（你）（這個地方和使用了代詞無關，老師可以說「張三去開門」。當然「我」是不行的，一般來說我沒法命令自己，我只能形成一個 intention，但是這個不行和「我沒辦法給自己錢」是類似的問題。因為我們很多東西需要區分兩個主體出來，所以這裡自動崩潰了）
• 行動（開）
• 行動對象（門）
• 時態（將來時，我們不可能對過去產生命令，而即便是「我現在命令你立刻去開門」，這個命令也指向我說完這句話的短暫將來，而不是我正在說這句話的現在，或者說，作為點的現在是捕捉不到的。命令是一種『廣義上的 prediction』；意圖也是。當然這種廣義廣得太過分了，就聽聽算了，別太較真）
• 一般來說，只有陳述中真正包含了命題，在別的情況下，就算不是完全錯誤，也不那麼典型。因此糾結說命令中是否包含命題並不是特別有意義。這裡的嘲諷如下：
• 如果說命令中包含了一個命題（加上命令的語力），那麼我們按照同樣的轉寫規則也可以說每個陳述句中都包含了一個疑問（加上答案）：「今天會下雨。」=「今天會下雨嗎？對」=「今天並不會下雨？錯」

以上是關於命令和命題的討論。

然而「你去開門」的例子和上面這個定義有一個細微的區別：定義是複雜的，而「你去開門」是簡單的。

我們可以進一步追問，到底是「命令你：（當且僅當……時，稱……）」，還是「當且僅當……時，命令你稱……」？

我們先來看問題的一邊：

若集合A的元素都屬於B，則稱A是B的子集。

如果不稱怎麼辦？似乎沒什麼不可以的。舉個例子，

「如果集合 A 的元素都屬於 B，那麼集合 A 的元素都屬於 B」——這並沒有強迫我們非要用這個縮寫，如果這個定義是說，我們非得要用這個縮寫，那麼我們不僅不能說後件，連前件都不能說了，因此我們只能說「如果 A 是 B 的子集，那麼 A 是 B 的子集」這樣的話。那我們的推理鏈就可能斷了，因為在某些地方，可能不是很顯然，所以我們需要把這個條件明確出來，比如說，我們無法進行如下證明書寫：

注意到此處所有 E 中的元素都是 R(E) 中的元素，因此 E 是 R(E) 的子集。

我們只能說：

注意到此處 E 是 R(E) 的子集，因此 E 是 R(E) 的子集。

——而這是一個謬誤，begging the question。

數學裡面有很多這樣的縮寫，或者說，概念打包。它們允許我們把一個長概念打包成一個短概念。這種概念打包不是禁止我們使用長概念，而是為了讓我們的語言更加簡潔（succinct）。由於人腦的計算局限性，我們不太擅長思考三次以上量詞交替的語句，比如說 定義中就有多次量詞交替，而極限的概念一打包成功，我們就可以用一種彷彿是在談論一個簡單的性質而不是一個複雜的、含有多次量詞交替的一階邏輯語句的方式來談論極限。（隨便想像一個書中使用了極限的語句，按照 ed 定義完整展開的樣子）

所以比起禁止，定義的本質更像是賦權（empowering）：就像是在 LaTeX 裡面，我們嫌

mathcal M

太長了，而用一個


ewcommand{mm}{mathcal{M}}

定義了一條短的新命令——我們沒有禁止在下文中使用 mathcal M 這個命令，只要你不嫌累的話。只不過現在嫌麻煩的人就可以只打個 mm。

我們真正被禁止的是什麼？同時斷言兩個相反的事情：比如說，一方面我們說「A 是 B 的子集」，另一方面我們又聲稱「存在 x，x 屬於 A 但是 x 不屬於 B」。（這種說法可能依舊是輕率的：我們在利用反證法證明命題的時候恰恰是通過斷言兩個相互矛盾的句子來使得命題得到證明。於是這個地方又涉及到了語境的問題。但是考慮到反證法本身就處在一個假設語境（hypothetical context）中，因此我們或許可以說這個地方也並不是算是真正意義上的斷言。在假設語境下的斷言本質上都是一個很長的假言句，被真正斷言的是這些個「如果……，那麼……」。）

又或者說，通過加入新的定義，我們拓展了「不一致」和「推出」的內容，而它們的用法依舊是過去邏輯上的那種用法。

在原來貧瘠的語言中「存在 x，x 屬於 A 但是 x 不屬於 B」和「A 是 B 的子集」不矛盾，準確來說是談不上矛盾不矛盾：後者根本不在該語言中出現，因此不是一個合法的表達式。但是在新的語言中，我們的表達式增加了，可以進行的推理也增加了。需要注意的是，這裡本身涉及對於邏輯後承的態度問題。我們不應該說一個有效的論證是「如果我們接受全部前提，那麼我們應該接受結論」的情況。因為我們不是邏輯全知的，我們只能說，有效的論證對應的是「（接受所有前提，並且拒絕結論）是不行的」。

廢話完了，就這樣。