麥克斯韋方程組在數學和物理上到底揭示了什麼聯繫？為什麼它也不是完全對稱的？

梯度，旋度，散度

電場，磁場

有旋、無旋場，有勢、無勢場，有源、無源場

線積分，面積分

麥克斯韋方程組

之間到底有什麼關係

謝邀。

之所以我對這個問題感興趣，主要是因為問題的後半部分可能也是很多人想過的：「為什麼它也不是完全對稱的？」

其實很多人也意識到了，這種「不對稱」的根源是自然界不存在磁荷；假設真的存在磁荷 與磁流 的話，那麼麥克斯韋方程組形式上就會變成更為對稱的樣子（選用自然單位制略掉一些無關緊要的常數）：

自然，這個時候粒子受的總電磁力也就變成

在這種形式下，將 、 ， 、 ， 、 對換後方程的形式是完全不改變的，這叫做電磁對偶性。

於是問題也就變成了：「為什麼自然界不存在磁荷？」

先上結論：

對於單獨的粒子，即便我們假設它真的既存在電荷 又存在磁荷 ，但總是在實際物理意義上完全等價為只有大小為 的電荷，而磁荷為零；換句話說，很大意義上，「粒子只有電荷而沒有磁荷」可以看成是一種習慣上方便的說法而已。這種說法只是數學上不同的描述手段，並不會產生任何實際應用上的區別或誤差，更不致影響到實際的物理效應。

反過來說，即便是現在的情況，也可以通過對定義稍加修改而得到無窮多種電荷磁荷共存的理論框架，只不過它們的比值對任何粒子都是一個常數。

下面為了方便討論，我們採取形式更為緊湊的四維表述。雖然講清楚微分形式不是幾句話的事情，其實嚴格來講不該這麼草率，不過無傷大雅的情況下我們總可以這樣理解：

定義一個矩陣 稱為電磁形式；

定義一個矢量（4*1矩陣） 稱為電流形式；

以及矢量（4*1矩陣） 稱為磁流形式；

名字不重要，其實說這麼多只是為了說明，原來有關電磁的一系列物理量的全部信息現在都包含在 、 、 這三個符號之中。在四維的語境中， 表示的就是電磁場， 表示一切由電荷電流構成的源， 表示一切由磁荷磁流構成的源。它們還都可以定義各自的對偶，用星號標明。其中 （雖然不是但）相當於直接在矩陣中做替換 、 而已；其他兩個的對偶 、 雖沒這麼簡單，但也是與電荷電流、磁荷磁流有關的。

利用一個特殊的運算「 」（外微分），我們可以把原來不含磁荷的四個方程，變換一下寫法，寫成這樣的形式：

這就是麥克斯韋方程組的外微分形式。而假設存在磁荷的形式則是：

這裡沒必要看懂，只需要從形式上粗略來看看即可。相較而言，方程組的對稱與否在這裡體現地更加明顯。雖然對偶形式之間的關係不是一兩句話的事情，但是粗略來看， 與 的區別無非是 、 的位置對換而已。很明顯，互為對偶的這兩者，若是在無磁荷的情況下，則會在同一運算「 」下表現出截然不同的性質：術語一點來講， 表明 是「閉」的，而 顯然不是。而若是存在磁荷，那麼兩者性質就顯得非常相似了：一個由電荷電流產生，另一個由磁荷磁流產生；兩者又互為對偶，體現了電磁一體的本質。

那麼下面我們試著對二元組 和 做一個有趣的事情：

若我們對 用熟悉的 角旋轉矩陣 做變換得到新的二元組 ，即：

同時，我們也對 做 的變換得到 ：

注意到，上面兩組聯合變換其實已經給出了：

如果你會這些運算的話，不難驗證，我們會發現，新的量仍然滿足

這說明麥克斯韋方程組在上述這一類與 有關的變換下保持成立。這一類由 決定的變換，我們稱之為參數為 的對偶變換。還記得上面提到的電磁對偶嗎？顯然，它正是這裡的對偶變換在 時候的特例，或者說這裡的對偶變換可看作是上面電磁對偶的一種推廣。

上面毫無理由的變換看起來很莫名其妙，暫且放下。我們關心的不僅僅是這些形式上的trick；真正重要的是，上面的這種變換，會對於我們的物理觀測結果產生影響嗎？換句話說，若稱 和 組成的物理系統為系統1， 和 為系統2，兩者對於人類來說，或者對於物理定律來說，是可以分辨的嗎？

答案是不能。我們可以不妨嘗試計算一下人類測量得到粒子受的總電磁力、電磁場的能量動量張量，以及任何人類可以直接測量的物理量，結果是完全相等的——變換前後既不能產生不同的動力學效應，也不能使時空具有不同的度規，更不能改變物理定律的形式，換句話說任何物理手段無法區分它們；而這其實說明了兩個系統根本就是一樣的、完全等價的，只是不同的數學描述手段而已。這說明，上面的對偶變換並不產生可觀測的效應，僅僅是數學上描述方式的trick，並非是造成實際物理變化的操作。

這個看起來很無聊的結論有什麼用呢？關鍵就在於：對於任何給定的、假設電荷磁荷均存在的場源 來說，總存在著一個確定的參數 （不明白的話就想想它的幾何意義——平面旋轉）使得變換後的場源成為 ——於是系統就完全等價於只存在電荷與電流，而無磁荷與磁流了！

事實上，通過選取 的不同，原則上我們能夠得到對同一個系統的無窮多種描述，在這些框架下，完全相同的一個系統被描述為具有不同的電荷與磁荷，甚至包括只有磁荷沒有電荷的說法。然而它們之間並無實質的區別——這種不改變物理實質的人為選擇的自由度，在物理上叫做規範性質。

這個故事告訴我們，對於單獨的粒子，即便我們假設它真的既存在電荷 又存在磁荷 ，但總是在實際物理意義上完全等價為只有大小為 的電荷，而磁荷為零；換句話說，很大意義上，「粒子只有電荷而沒有磁荷」可以看成是一種習慣上方便的說法。這種說法只是數學上不同的描述手段，並不會產生任何實際應用上的區別或誤差，更不致影響到實際的物理效應。

然而其實有一個實際問題在這裡：若對於不同種類的粒子組成的體系來說，假若它們的電荷磁荷比 不同，則無法找到一個統一的 來消除掉磁荷；換句話說，只有所有粒子都具有相同的 值，才會宏觀等價為只有電荷而無磁荷的情況。所謂尋找磁荷存在的實驗，其實不如說是尋找是否存在不同 值的粒子。

那麼，所有粒子有相同的 值，這可能嗎？儘管這種要求聽起來好像有點過於強硬，但就目前的實驗情況來看，至少我們常見的基本粒子，它們的 值在很高精度下都是相等的。其實這種事情我們並不陌生：想想在關於引力問題的世紀思辨之中，我們也曾經考慮過「是否所有物體的慣性質量和引力質量都具有相同的比值」。就目前而言，這已經是一個精度很高的結論了，並且成為了一個類似於原理一般的存在——等效原理，來支撐著目前我們關於引力理論的考量。它與我們今天的主題這兩者是十分相似的：所有粒子的電荷和磁荷都具有相同的比值，正是基於這樣的觀念，支撐著我們如今對於電磁理論的考量。

最後簡單說一下，所謂的參數為 的對偶變換，就幾何意義而言無非是一個旋轉；然而它到底是在哪個空間旋轉？

用線性代數的語言通俗來講，其實我們在數學上，可以認為任何粒子都對應於某個抽象的線性空間中的一個矢量，電荷和磁荷的數值分別是它們在某個正交坐標基下的不同分量坐標；「 值相等」意味著這些矢量是互相平行的，而電荷量不同意味著這些矢量的長度不同。而不同的 角就意味著我們選取不同的正交基來測量這些分量，自然就會得到不同的坐標數值——也就是說，這個旋轉，是抽象空間中正交基的旋轉。選取什麼基是不影響矢量本身的，也就是不影響粒子本身性質的，那麼為了方便，我們總可以選取一個基使得它只有某一分量而另一分量為零，這就是我們已經用了幾個世紀的視角：只有電荷而沒有磁荷。

給 @木瓜 的回答中提到的內容做一些改寫。

實際上如果假定磁荷存在，並使用Gauss單位制的話，Maxwell方程組就是對稱的：

，

，

，

，

其中 是電場， 是磁場， 是電荷密度， 是磁荷密度， 是電流密度， 是磁流密度。

為了寫成更漂亮的複數形式，定義電磁場 ，電磁荷密度 ，電磁流密度 。於是Maxwell方程組可以寫成

，

。

可以對上面兩個方程的兩邊同時乘 ，相當於進行 @木瓜 的回答中提到的旋轉矩陣所表示的變換。我們總能找到某個 使得當 時 ， ，也就是我們所熟知的沒有磁荷的情形。

有評論質疑如此構造在數學上的嚴謹性。其實在 定義向量積是完全沒有問題的，這是因為在向量積的定義

中，對於向量的每個分量只涉及加、減、乘的運算，這些運算在 上都是良定義的。

將Nabla運算元用到 上也完全沒有問題，因為本來具有復自變數的函數也能求偏導，而且偏導數的幾乎所有性質和定理，當將數域擴充到 上時都是成立的。其中我就用到了旋度、散度的線性性。

麥克斯韋方程中的運算元對散度，旋度表達式的簡化簡直是讓我驚嘆連連！！！

震撼心靈的觸動，學識越發的散發著它的魅力！

引入磁荷（依然認可不存在磁單級子）後就完全對稱了，僅有符號不同（正負分別表示磁場和電場）。

我覺得，如果把現代物理學精通後再回頭看看麥克斯韋方程組的話，會有新的體會