忽略空氣阻力，在h米高處以速率v拋出物體，怎麼拋最遠？

04-21

這個問題其實沒有看上去那麼簡單。雖然確實只需要高一物理知識就能解決，但這需要一定的技巧。

死算的計算量太大。我們用一下矢量三角形的技巧。

設物體經過 $t$ 時間後以速度 $mathbf v$ 落地，則可以得到

$mathbf v=mathbf v+mathbf gt$ 。

根據這個畫出矢量三角形。我這裡偷個懶，請讀者自己畫。

設初速度 $mathbf v$ 與水平方向的夾角為 $heta$ ，則容易得到上面提到的矢量三角形的面積

$S=frac12gtcdot vcos heta$ 。

設落地點與拋出點的水平距離為 $d$ ，則易知

$d=vtcos heta$ 。

簡單地代入可得

$S=frac12gd$ 。

於是可以發現，題目要求的最大化 $d$ 轉化為最大化 $S$ 。

根據能量守恆，初末速度具有關係

$v=sqrt{v^2+2gh}$ 。

這時最大化 $S$ 就很簡單，因為我們已經知道了矢量三角形的兩條相鄰的邊的邊長。只需要讓這兩條邊垂直就可以得到最大面積

$S_max=frac12vv=frac12vsqrt{v^2+2gh}$ 。

題目問的是怎麼拋，因此我們要算的是這種情形下的 $heta$ 。根據幾何關係，這種情形下 $heta$ 滿足

$an heta=frac v{v}=frac v{sqrt{v^2+2gh}}$ 。

設初始速度為v0，初始水平高度為H，落地時水平位移為L，由題意，將速度分解可以得到兩個等式，即：

（a）v0cosθ*T=L

（b）v0sinθ*T-gT^2/2=-H

所求即為L的最大值

消去T得：

（c）tanθ*L-gL^2/2v0^2*(cosθ)^2=-H

顯然L可以看成是θ的函數，兩邊同時對θ求導得：

（d）2cos2θ*L+sin2θ*L-2gLL/v0^2=2sin2θ*H

而要求L的最大值，顯然並不是在兩端取到，故應該在定義域中取到，函數的極值處導數為零，故把L=0代入上式得：

L*cos2θ=H*sin2θ

（1）當H=0時，也就是特殊情況時，cos2θ=0，即此時θ=π/4，L取到最大值；

（2）當H≠0時，此時最大值L=H*tan2θ（根據題意可知為最大值）

現在再把該式代入（c）式，解得此時有：

θ=arcsin（v0/(2gH+2v0^2)^1/2）

用一個比較解析一點的辦法吧。首先可以簡單分析一下，要使得物體拋得最遠，必然不會是斜下拋這種拋法（可以簡單畫一下軌跡判斷）。然後可以確定是斜上拋這種拋法，之後就可以列寫兩個方向的運動學方程了。

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這不會是你卷子上的題吧？你是不是高一的學生？

理論上無窮遠，根據萬有引力公式的話如果V＞7.9km/s的話就可以突破地球引力成為地球衛星，繞地球運動，再乘以根號2的話就可以脫離地月系成為太陽系的行星，大於15.8km/s的話理論上可以突破太陽系成為星際行星。理論上可以走無窮遠。建議平拋。

同學，作業自己做