這個數列極限問題如何解決呢?

[公式] 數列 [公式][公式] 收斂於相同的極限並求該極限.


真要說起來,這個問題的歷史其實相當古老,可以追溯到2000多年前古希臘的阿基米德

我給出幾種做法

為了方便起見,我把題目形式稍加變化一下,變成:

數列 [公式][公式] ,滿足 [公式][公式][公式][公式] .

[公式]

求數列 [公式][公式] 的通項公式.

[公式]

也就是相當於把你的原題進行倒代換,別的完全不影響

為什麼這麼變?因為這樣方便揭示其幾何意義

好了,先說這題解法:

方法(一)

注意到三角恆等式

[公式][公式]

[公式][公式]

顯然 [公式][公式]

由於

[公式]

由數學歸納法

[公式]

[公式]

[公式]

注意此處隨著不同的初值 [公式] , [公式] ,三角換元的過程是可能出現複數的,不去管它.

實在不想看到複數,某些初值下可以改使用雙曲換元.

這個方法是最直接快捷的,但是那兩個三角恆等式不屬於最常見的,應該不是每個人都能想到.

方法(二)

[公式][公式]

由此兩式消去 [公式] , [公式] 可得

[公式]

[公式]

[公式]

則有 [公式]

[公式][公式]

[公式]

[公式]

由數學歸納法, [公式][公式]

[公式]

[公式]

[公式]

[公式]

[公式]

其中 [公式]

[公式]

注意此處隨著不同的初值 [公式] , [公式] ,三角換元的過程是可能出現複數的,不去管它.

否則的話,也可以採取這樣的換元:

[公式]

則數學歸納法, [公式][公式]

它實際上和雙曲餘弦換元是等價的


顯然,數列

[公式][公式][公式]

[公式] 時是有著共同極限的,這個共同極限是 [公式]

(對於你的原題的話,就是取 [公式]

然後共同極限是 [公式]


而如果這麼取值:當 [公式][公式] 時,這個共同極限便是 [公式]

這就是當年阿基米德計算圓周率時採用的割圓術

其中 [公式]

這恰好是圓的內接正[公式]邊形的周長與圓直徑的比值

[公式]

這是圓的外切正[公式]邊形的周長與圓直徑的比值

此時顯然有

[公式] 構成了一個非常典型的閉區間套,並且所有區間端點都是代數數,最後卻構造出了一個超越數

&-->

我們令 [公式] 為圓的外切正 [公式] 邊形的邊長與直徑的比值(半邊長與半徑的比值)

[公式] 為圓的內接正 [公式] 邊形的邊長與直徑的比值(半邊長與半徑的比值)

那麼很顯然

[公式][公式]

為了簡單起見,不如令半徑為1

圖中 [公式]

[公式]

[公式]

過點 [公式] 作圓切線交 [公式] 於點 [公式] ,交 [公式] 於點 [公式]

那麼 [公式]

(因為 [公式][公式]

由幾何關係

[公式]

(相似三角形)

[公式]

顯然有

[公式]

[公式]

(勾股定理)

[公式]

[公式]

這就從幾何意義上解釋了這個數列


來了來了,答主在線pvp

雖然高斯的Arithmetic-Geometric Mean很有名但是也不用強行改問題吧。

不妨設 [公式] . 我們設 [公式] ,由遞推式,我們有

[公式]

這是明顯的二倍角公式。因此如果我們令 [公式][公式] ,則有 [公式] . 此時帶入 [公式] 的遞推式,我們有

[公式]

因此連乘可以得到 [公式] . 令n趨於無窮大,眾所周知, [公式] (證明利用 [公式] 即可),因此

[公式] . 類似地, [公式] 的通項公式和極限也可以求出來,答案是相同的.


這個數列有時被稱為Schwab數列,因為J.Schwab在1813年研究過它。這個數列和高斯的算術幾何平均數列有異曲同工之妙,構造簡單,並可以速度極快地逼近一些超越函數。

為了方便,如題主所說,記 [公式][公式] 關於數列的收斂性,先說結論:

Schwab數列 [公式] 滿足 [公式][公式][公式] 收斂速度是指數級的: [公式]

現在給出證明。首先易見

[公式]

[公式] 不等式 [公式]

由歸納法可知,不等式 [公式] 成立。

可見, [公式] 單調增有上界, [公式] 單調減有下界,所以它們都收斂。在遞推式中令 [公式] 知,它們的極限相等。也可以從上面的不等式(*)得到 [公式] 由此也可見兩個數列收斂於共同的值,而且是指數收斂的。

記這個共同的極限為 [公式] 易見它有齊次性:

[公式]

所以,不妨先考慮 [公式] 的情形。應用等式 [公式] 由歸納法容易知道

[公式]

[公式] 乘上式,整理得 [公式] 所以

[公式]

應用齊次性推出 [公式] 其中 [公式] 滿足 [公式] 證畢。


注1 用同樣的方法可以推出,如果 [公式][公式] 其中 [公式] 滿足 [公式]

注2 取 [公式] 則有 [公式] [公式] 換言之, [公式] 這可以迅速地逼近圓周率。


&-->

&-->

來源:菲赫金哥爾茨 著 微積分學教程(第一卷)(第8版)

註:題主所說的an+1實際上不等式只有加強,結果不變。


我怎麼總感覺你的題出錯了呢

我總覺得Bn+1等於根號anbn

不會做,給你提供一個思路吧

如果按我說的那樣更改題目,會十分完美

&-->

抱歉然後不會了


這不是一個簡單的問題,可以去了解高斯積分再嘗試解答


.


推薦閱讀:

TAG:數學 | 高等數學 | 數學分析 | 數列 | 極限數學 |